Um engenheiro está analisando uma espessa parede de concreto (modelada como um sólido semi-infinito) que está a uma temperatura inicial uniforme de T_{i}=20^{\circ} \mathrm{C}. Em t> 0 , a superfície externa é submetida a uma temperatura constante de T_{s}=600^{\circ} \mathrm{C} (simulando um incêndio prolongado). Encontre na literatura dados para a difusividade térmica do concreto.
a. Calcule a temperatura em uma profundidade de 5 c m após o tempo de exposição de 1 hora.
b. Calcule o tempo necessário para que a temperatura atinja 100^{\circ} \mathrm{C} na mesma profundidade, 5 cm .
c. Para manter a segurança estrutural, o engenheiro exige que após 2 horas de exposição, a temperatura em x=5 c m não exceda 300^{\circ} C. Calcule a máxima temperatura superficial constante que a parede poderia ter suportado por 2 horas para cumprir o limite de segurança.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pedidos (vou listar tudo com calma para não perder nada):\n
  • Temperatura inicial da parede: T_{i}=20^\circ\mathrm{C}.\n
  • Para t>0 a superfície é submetida a uma temperatura constante T_{s}=600^\circ\mathrm{C} (essa é a condição que usaremos em (a) e (b)).\n
  • Profundidade onde queremos a temperatura: x=5\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m}.\n
  • Para (a) o tempo é t=1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s} e queremos T(0{,}05\\ \mathrm{m},3600\\ \mathrm{s}).\n
  • Para (b) queremos o tempo t tal que T(0{,}05\\ \mathrm{m},t)=100^\circ\mathrm{C} com a mesma condição superficial T_{s}=600^\circ\mathrm{C}.\n
  • Para (c) a condição é diferente: agora queremos que após 2\\ \mathrm{h}=7200\\ \mathrm{s} a temperatura em x=0{,}05\\ \mathrm{m} não exceda 300^\circ\mathrm{C}; a incógnita é a maior temperatura superficial constante T_{s,\max} que satisfaz essa exigência.\n
  • Pedido do enunciado: “Encontre na literatura dados para a difusividade térmica do concreto.” Eu peguei um valor típico a partir de propriedades usuais de concreto (valor encontrado em literatura técnica / manuais de propriedades de materiais de construção): condutividade térmica k\approx 1{,}4\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, densidade \rho\approx 2300\\ \mathrm{kg/m^3} e capacidade térmica c\approx 880\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. A difusividade térmica é \alpha=k/(\rho c), que com esses números dá um valor típico\n
\alpha \approx 7\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.\n
Vou usar \alpha=7\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s} como valor representativo nas contas (é um valor de ordem de grandeza comum para concreto; se o seu concreto tiver propriedades diferentes, basta substituir \alpha e repetir os cálculos).\n
Nada mais é pedido no enunciado, então já podemos partir para a solução.

Passo 2

Vamos escrever o modelo físico e a solução analítica que usamos (vou explicar o porquê e a fórmula passo a passo).\n
  • Modelo: parede espessa modelada como um sólido semi-infinito. Isso significa que a espessura é grande comparada à profundidade de interesse e podemos considerar que para x\to\infty a temperatura permanece em T_{i}. A superfície em x=0 é sujeita a uma mudança de temperatura instantânea e mantida constante em T_{s} para t>0.\n
  • Equação e condição: a equação é a equação do calor unidimensional (difusão térmica) e com as condições\n T(x,0)=T_{i},\qquad T(0,t)=T_{s},\qquad T(x,t)\to T_{i}\\ \text{quando }x\to\infty.\n
  • Solução conhecida (caso clássico, encontrada em livros de transferência de calor): a solução para um semi-infinito com superfície mantida em temperatura T_{s} é dada em termos da função erro complementar \operatorname{erfc}:\n T(x,t)=T_{i} + (T_{s}-T_{i})\,\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right).\n
Explicações pedagógicas rápidas:\n
  • A função erro complementar \operatorname{erfc}(z) é definida por \operatorname{erfc}(z)=1-\operatorname{erf}(z), com\n \operatorname{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z} e^{-u^{2}}\,du.\n
  • Propriedades úteis: \operatorname{erfc}(0)=1 (logo em x=0 recuperamos T=T_{s}) e \operatorname{erfc}(+\infty)=0 (para grandes x volta T_{i}). A função varia entre 1 e 0 conforme seu argumento cresce.\n
  • O argumento que aparece, \displaystyle z=\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}, é adimensional e mede a razão entre a distância x e a profundidade térmica característica 2\sqrt{\alpha t}. Pequeno z significa penetração térmica grande (mais aquecimento em x); grande z significa pouca penetração.\n
  • Na prática, para avaliar \operatorname{erfc}(z) usamos tabelas de \operatorname{erf}, calculadora científica ou aproximações; eu vou usar valores de \operatorname{erf} conhecidos/estimados por interpolação simples nas regiões necessárias.

Passo 3

Parte (a): calcular T em x=0{,}05\\ \mathrm{m} após t=3600\\ \mathrm{s} com \alpha=7\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s} e T_{s}=600^\circ\mathrm{C}.\n
  1. Calcule o argumento adimensional z:\n z=\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}=\frac{0{,}05}{2\sqrt{(7\times10^{-7})(3600)}}.\n
  2. Avaliando internamente: \alpha t=(7\times10^{-7})\cdot 3600=2{,}52\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}. Então\n \sqrt{\alpha t}=\sqrt{2{,}52\times10^{-3}} \approx 0{,}0502\\ \mathrm{m}.\n
Logo\n 2\sqrt{\alpha t}\approx 0{,}1004\\ \mathrm{m}, \qquad z\approx \frac{0{,}05}{0{,}1004}\approx 0{,}498.\n
  1. Agora precisamos de \operatorname{erfc}(0{,}498). Uso a relação \operatorname{erfc}(z)=1-\operatorname{erf}(z). Sabemos que \operatorname{erf}(0{,}5)\approx 0{,}5205; para 0{,}498 a diferença é negligível na precisão que queremos, então tomo \operatorname{erf}(0{,}498)\approx 0{,}5205. Assim\n \operatorname{erfc}(0{,}498)\approx 1-0{,}5205=0{,}4795.\n
  2. Substituindo na solução:\n T(0{,}05,3600)=20 + (600-20)\cdot 0{,}4795.\n
Calcule o produto: 600-20=580, então 580\times 0{,}4795\approx 278{,}21. Portanto\n T(0{,}05,3600)\approx 20 + 278{,}21 = 298{,}21^\circ\mathrm{C}.\n
Arredondando razoavelmente, a temperatura é \boxed{298{,}2^\circ\mathrm{C}}.

Passo 4

Parte (b): determinar o tempo t tal que T(0{,}05,t)=100^\circ\mathrm{C} com T_{s}=600^\circ\mathrm{C}.\n
  1. Partimos da fórmula e isolamos \operatorname{erfc}:\n \operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right)=\frac{T(x,t)-T_{i}}{T_{s}-T_{i}}.\n
Com T=100^\circ\mathrm{C} temos\n \operatorname{erfc}(z)=\frac{100-20}{600-20}=\frac{80}{580}=0{,}137931\\ (\text{aprox.}).\n
  1. Então \operatorname{erf}(z)=1-\operatorname{erfc}(z)=1-0{,}137931=0{,}862069. Precisamos do z tal que \operatorname{erf}(z)=0{,}862069.\n
Usando valores tabulados/estimação: \operatorname{erf}(1{,}00)\approx 0{,}8427 e \operatorname{erf}(1{,}10)\approx 0{,}8802. Interpolando linearmente para 0{,}86207 (entre 0{,}8427 e 0{,}8802) obtemos aproximadamente\n z\approx 1{,}052\\ (\text{aprox.}).\n
  1. Agora relacionamos z com t:\n z=\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\alpha t}=\frac{x}{2z}\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{x^{2}}{4\alpha z^{2}}.\n
  2. Substituindo números: x^{2}=(0{,}05)^{2}=0{,}0025. Então\n t\approx \frac{0{,}0025}{4\cdot(7\times10^{-7})\cdot(1{,}052)^{2}}.\n
Calcule o denominador: (1{,}052)^{2}\approx 1{,}107; 4\cdot7\times10^{-7}=2{,}8\times10^{-6}; produto 2{,}8\times10^{-6}\cdot1{,}107\approx 3{,}0996\times10^{-6}.\n
Logo\n t\approx \frac{0{,}0025}{3{,}0996\times10^{-6}}\approx 806{,}5\\ \mathrm{s}.\n
Convertendo para minutos: 806{,}5\\ \mathrm{s}\approx 13{,}44\\ \mathrm{min}.\n
Portanto o tempo necessário é aproximadamente \boxed{806{,}5\\ \mathrm{s}\\ (\approx 13{,}4\\ \mathrm{min})}.

Passo 5

Parte (c): encontrar o maior T_{s} constante tal que após t=2\\ \mathrm{h}=7200\\ \mathrm{s} a temperatura em x=0{,}05\\ \mathrm{m} não exceda 300^\circ\mathrm{C}. Ou seja, queremos o T_{s,\max} que satisfaz\n T(0{,}05,7200)=300^\circ\mathrm{C}.\n
  1. Da fórmula:\n 300 = 20 + (T_{s,\max}-20)\,\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right).\n
Isolando T_{s,\max}:\n T_{s,\max}=20 + \frac{300-20}{\operatorname{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right)}.\n
  1. Calcule o argumento z para t=7200\\ \mathrm{s}:\n z=\frac{0{,}05}{2\sqrt{(7\times10^{-7})\cdot 7200}}.\n
Avaliação: \alpha t=7\times10^{-7}\cdot7200=5{,}04\times10^{-3}. Então \sqrt{\alpha t}\approx \sqrt{5{,}04\times10^{-3}}\approx 0{,}0710\\ \mathrm{m}. Assim 2\sqrt{\alpha t}\approx 0{,}1420\\ \mathrm{m} e\n z\approx \frac{0{,}05}{0{,}1420}\approx 0{,}3521.\n
  1. Agora \operatorname{erfc}(0{,}3521)=1-\operatorname{erf}(0{,}3521). Usando valores tabulados/interpolação: \operatorname{erf}(0{,}35)\approx 0{,}3794 e \operatorname{erf}(0{,}36)\approx 0{,}3910. Interpolando para 0{,}3521 obtemos aproximadamente \operatorname{erf}(0{,}3521)\approx 0{,}3819. Então\n \operatorname{erfc}(0{,}3521)\approx 1-0{,}3819=0{,}6181.\n
  2. Finalmente:\n T_{s,\max}\approx 20 + \frac{280}{0{,}6181}\approx 20 + 453{,}12 \approx 473{,}12^\circ\mathrm{C}.\n
Arredondando, a máxima temperatura superficial constante que poderia ser aplicada por 2\\ \mathrm{h} sem exceder 300^\circ\mathrm{C} a 5\\ \mathrm{cm} é aproximadamente \boxed{473{,}1^\circ\mathrm{C}}.

Resposta

(a) T(0{,}05\\ \mathrm{m},3600\\ \mathrm{s})\approx 298{,}2^\circ\mathrm{C}\n
(b) t\approx 806{,}5\\ \mathrm{s}\\ (\approx 13{,}4\\ \mathrm{min})\n
(c) T_{s,\max}\approx 473{,}1^\circ\mathrm{C}

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