Um engenheiro está analisando uma espessa parede de concreto (modelada como um sólido semi-infinito) que está a uma temperatura inicial uniforme de
. Em
0 , a superfície externa é submetida a uma temperatura constante de
(simulando um incêndio prolongado). Encontre na literatura dados para a difusividade térmica do concreto.
a. Calcule a temperatura em uma profundidade de
após o tempo de exposição de 1 hora.
b. Calcule o tempo necessário para que a temperatura atinja
na mesma profundidade, 5 cm .
c. Para manter a segurança estrutural, o engenheiro exige que após 2 horas de exposição, a temperatura em
não exceda
. Calcule a máxima temperatura superficial constante que a parede poderia ter suportado por 2 horas para cumprir o limite de segurança.
a. Calcule a temperatura em uma profundidade de
b. Calcule o tempo necessário para que a temperatura atinja
c. Para manter a segurança estrutural, o engenheiro exige que após 2 horas de exposição, a temperatura em
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pedidos (vou listar tudo com calma para não perder nada):\n
- Temperatura inicial da parede:
.\n - Para
a superfície é submetida a uma temperatura constante (essa é a condição que usaremos em (a) e (b)).\n - Profundidade onde queremos a temperatura:
.\n - Para (a) o tempo é
e queremos .\n - Para (b) queremos o tempo
tal que com a mesma condição superficial .\n - Para (c) a condição é diferente: agora queremos que após
a temperatura em não exceda ; a incógnita é a maior temperatura superficial constante que satisfaz essa exigência.\n - Pedido do enunciado: “Encontre na literatura dados para a difusividade térmica do concreto.” Eu peguei um valor típico a partir de propriedades usuais de concreto (valor encontrado em literatura técnica / manuais de propriedades de materiais de construção): condutividade térmica
, densidade e capacidade térmica . A difusividade térmica é , que com esses números dá um valor típico\n
Vou usar
como valor representativo nas contas (é um valor de ordem de grandeza comum para concreto; se o seu concreto tiver propriedades diferentes, basta substituir
e repetir os cálculos).\n
Nada mais é pedido no enunciado, então já podemos partir para a solução.
Nada mais é pedido no enunciado, então já podemos partir para a solução.
Passo 2
Vamos escrever o modelo físico e a solução analítica que usamos (vou explicar o porquê e a fórmula passo a passo).\n
- Modelo: parede espessa modelada como um sólido semi-infinito. Isso significa que a espessura é grande comparada à profundidade de interesse e podemos considerar que para
a temperatura permanece em . A superfície em é sujeita a uma mudança de temperatura instantânea e mantida constante em para .\n - Equação e condição: a equação é a equação do calor unidimensional (difusão térmica) e com as condições\n
\n - Solução conhecida (caso clássico, encontrada em livros de transferência de calor): a solução para um semi-infinito com superfície mantida em temperatura
é dada em termos da função erro complementar :\n \n
Explicações pedagógicas rápidas:\n
- A função erro complementar
é definida por , com\n \n - Propriedades úteis:
(logo em recuperamos ) e (para grandes volta ). A função varia entre e conforme seu argumento cresce.\n - O argumento que aparece,
, é adimensional e mede a razão entre a distância e a profundidade térmica característica . Pequeno significa penetração térmica grande (mais aquecimento em ); grande significa pouca penetração.\n - Na prática, para avaliar
usamos tabelas de , calculadora científica ou aproximações; eu vou usar valores de conhecidos/estimados por interpolação simples nas regiões necessárias.
Passo 3
Parte (a): calcular
em
após
com
e
.\n
- Calcule o argumento adimensional
:\n \n - Avaliando internamente:
. Então\n \n
Logo\n
\n
- Agora precisamos de
. Uso a relação . Sabemos que ; para a diferença é negligível na precisão que queremos, então tomo . Assim\n \n - Substituindo na solução:\n
\n
Calcule o produto:
, então
. Portanto\n
\n
Arredondando razoavelmente, a temperatura é
.
Passo 4
Parte (b): determinar o tempo
tal que
com
.\n
- Partimos da fórmula e isolamos
:\n \n
Com
temos\n
\n
- Então
Precisamos do tal que .\n
Usando valores tabulados/estimação:
e
. Interpolando linearmente para
(entre
e
) obtemos aproximadamente\n
\n
- Agora relacionamos
com :\n \n - Substituindo números:
. Então\n \n
Calcule o denominador:
;
; produto
.\n
Logo\n
\n
Convertendo para minutos:
\n
Portanto o tempo necessário é aproximadamente .
Portanto o tempo necessário é aproximadamente
Passo 5
Parte (c): encontrar o maior
constante tal que após
a temperatura em
não exceda
. Ou seja, queremos o
que satisfaz\n
\n
- Da fórmula:\n
\n
Isolando
:\n
\n
- Calcule o argumento
para :\n \n
Avaliação:
. Então
. Assim
e\n
\n
- Agora
. Usando valores tabulados/interpolação: e . Interpolando para obtemos aproximadamente . Então\n \n - Finalmente:\n
\n
Arredondando, a máxima temperatura superficial constante que poderia ser aplicada por
sem exceder
a
é aproximadamente
.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)