Em aplicações industriais, a eficiência e a segurança de componentes que lidam com mudanças bruscas de temperatura (processos transientes) dependem criticamente das propriedades térmicas do material. O conceito de sólido semi-infinito é aplicado para modelar a penetração do calor em moldes ou bases de resfriamento. A distribuição de temperatura T(x, t) é classicamente governada pela Função Erro (erf) para a condição de temperatura superficial constante ( T_{S} ). O fluxo de calor na superfície ( q^{\prime \prime} ) é dado por:
q^{\prime \prime}=\frac{k\left(T_{s}-T_{i}\right)}{\sqrt{\pi \alpha t}}
Uma indústria precisa escolher um metal para fabricar um molde de resfriamento rápido (modelado como sólido semi-infinito). O molde, inicialmente frio, é subitamente exposto a um fluxo de fluido quente ( T_{S} ). O objetivo é proteger uma seção interna crítica (cavidade) mantendo sua temperatura o mais baixa possível. Os critérios de escolha são descritos a seguir:
  1. Segurança: A escolha final deve ser o material que apresenta a menor temperatura em x=1 \mathrm{~cm} após t=10 \mathrm{~s}.
  2. Economia: A escolha final deve ser o material que absorve o menor Fluxo de Calor Instantâneo ( q^{\prime \prime} ) na superfície em t=10 s.
Considere que os materiais candidatos são Pb (Chumbo) e Zn (Zinco), encontre na literatura dados de difusividade e condutividade térmica. Indique a fonte dos dados.
a. Verifique o critério de segurança: Para ambos os materiais, calcule a variável de similaridade real ( \eta_{\text {real }} ). Use a erf e a equação de temperatura para determinar qual material resulta na menor temperatura na cavidade. Qual material é mais seguro?
b. Verifique o critério de economia: Calcule o fluxo de calor instantâneo ( q^{\prime \prime} ) para ambos os metais no instante t=10 s. Qual material é mais econômico?
c. Tomada de decisão: Qual material deve ser escolhido? Justifique com base nos cálculos anteriores.

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha entre dois metais (Pb e Zn) para um molde modelado como sólido semi-infinito, usando dois critérios:
  1. Segurança: escolher o material que dá a menor temperatura na posição x=1\\ \text{cm} após t=10\\ \text{s}.
  2. Economia: escolher o material que absorve o menor fluxo de calor instantâneo q^{\prime\prime} na superfície em t=10\\ \text{s}.
Informações dadas e necessárias (tudo será usado nos passos seguintes):
  • Geometria/modelo: sólido semi-infinito com superfície mantida subitamente à temperatura de fluido T_{S}, temperatura inicial T_{i}.
  • Fórmula do fluxo de calor superficial:
q^{\prime\prime}=\frac{k\left(T_{S}-T_{i}\right)}{\sqrt{\pi \alpha t}}
  • Fórmula clássica da temperatura em sólido semi-infinito para condição de superfície com temperatura constante T_{S} (usarei essa forma no passo apropriado):
T(x,t)=T_{i}+(T_{S}-T_{i})\,\mathrm{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right).
  • Posição a avaliar: x=1\\ \text{cm}=0{,}01\\ \text{m}.
  • Tempo a avaliar: t=10\\ \text{s}.
  • Preciso dos dados físicos dos materiais: condutividade térmica k, densidade \rho e calor específico c_{p} para obter a difusividade térmica
\alpha=\frac{k}{\rho c_{p}}.
  • Vou buscar valores típicos na literatura (fonte indicada em seguida) e usá‑los para comparar os dois metais. Não pedirei valores adicionais ao usuário.

Passo 2

Escolha e citação de dados de literatura (valores típicos à temperatura ambiente; coloco a fonte usada para cada propriedade):
Valores adotados (fontes indicadas em seguida):
  • Chumbo (Pb):
    • condutividade térmica: k_{\text{Pb}}=35{,}3\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}} (Engineering Toolbox — Thermal conductivity of metals)
    • densidade: \rho_{\text{Pb}}=11\,340\\ \mathrm{kg\,m^{-3}} (MatWeb / Engineering Toolbox)
    • calor específico: c_{p,\text{Pb}}=128\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} (MatWeb)
  • Zinco (Zn):
    • condutividade térmica: k_{\text{Zn}}=116\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}} (Engineering Toolbox)
    • densidade: \rho_{\text{Zn}}=7\,135\\ \mathrm{kg\,m^{-3}} (MatWeb / Engineering Toolbox)
    • calor específico: c_{p,\text{Zn}}=388\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} (MatWeb)
Fontes (valores típicos consultados):
  • Engineering Toolbox — “Thermal conductivity of metals” (valores de k): https://www.engineeringtoolbox.com/thermal-conductivity-metals-d_858.html
  • MatWeb (fichas de propriedades de materiais) — entradas para Lead (Pb) e Zinc (Zn) (valores de \rho e c_p): https://www.matweb.com
Obs.: esses valores são valores de referência à temperatura ambiente; pequenas variações dependem da pureza e temperatura. Para comparação relativa entre os dois materiais essas referências são adequadas.

Passo 3

Calcular a difusividade térmica \alpha para cada material e explicar o que é \alpha.
Breve aula: a difusividade térmica \alpha mede a rapidez com que a temperatura se propaga no material. É definida por
\alpha=\frac{k}{\rho c_{p}},
onde k é a condutividade térmica (capacidade de conduzir calor), \rho é a densidade (massa por volume) e c_{p} é o calor específico (energia por massa e por grau). Unidades de \alpha são \mathrm{m^{2}\,s^{-1}}. Para o problema da penetração de calor num semi-infinito, quanto maior \alpha, mais rápido o calor penetra (ou seja, as regiões internas aquecem mais depressa).
Cálculos (mostrar contas passo a passo):
Para Pb:
\alpha_{\text{Pb}}=\frac{k_{\text{Pb}}}{\rho_{\text{Pb}}\,c_{p,\text{Pb}}} =\frac{35{,}3}{11\,340\times 128}.
Calcule o denominador:
11\,340\times 128 = 1\,451\,520.
Agora a razão:
\alpha_{\text{Pb}}=\frac{35{,}3}{1\,451\,520}\approx 2{,}432\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}}.
Para Zn:
\alpha_{\text{Zn}}=\frac{k_{\text{Zn}}}{\rho_{\text{Zn}}\,c_{p,\text{Zn}}} =\frac{116}{7\,135\times 388}.
Calcule o denominador:
7\,135\times 388 = 2\,768\,380.
Agora a razão:
\alpha_{\text{Zn}}=\frac{116}{2\,768\,380}\approx 4{,}192\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}}.
Interpretação rápida: \alpha_{\text{Zn}} é aproximadamente o dobro de \alpha_{\text{Pb}}. Isso significa que o calor penetra mais rápido no zinco do que no chumbo (para as mesmas condições).

Passo 4

Definir e calcular a variável de similaridade real \eta_{\text{real}}; explicar o porquê dela.
Breve aula: para problemas de difusão (calor) no sólido semi-infinito com condições autossimilares, a solução depende da combinação adimensional
\eta=\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}.
Esse \eta é chamado de variável de similaridade: ele junta a dependência espacial x e temporal t numa única variável adimensional. Pequeno \eta significa que o ponto está “próximo” em termos de penetração térmica (mais influenciado pela superfície), grande \eta significa que o ponto ainda está “longe” (permanecendo mais frio, perto da temperatura inicial).
Calcule para x=0{,}01\\ \text{m} e t=10\\ \text{s}:
Para Pb:
\eta_{\text{Pb}}=\frac{0{,}01}{2\sqrt{\alpha_{\text{Pb}}\,t}} =\frac{0{,}01}{2\sqrt{2{,}432\times 10^{-5}\times 10}}.
Calcule \alpha_{\text{Pb}}\,t=2{,}432\times 10^{-4}. A raiz:
\sqrt{2{,}432\times 10^{-4}} \approx 1{,}560\times 10^{-2}.
Então
2\sqrt{\alpha_{\text{Pb}}\,t}\approx 0{,}03120,
e
\eta_{\text{Pb}}\approx \frac{0{,}01}{0{,}03120}\approx 0{,}3205.
Para Zn:
\eta_{\text{Zn}}=\frac{0{,}01}{2\sqrt{\alpha_{\text{Zn}}\,t}} =\frac{0{,}01}{2\sqrt{4{,}192\times 10^{-5}\times 10}}.
Calcule \alpha_{\text{Zn}}\,t=4{,}192\times 10^{-4}. A raiz:
\sqrt{4{,}192\times 10^{-4}} \approx 2{,}047\times 10^{-2}.
Então
2\sqrt{\alpha_{\text{Zn}}\,t}\approx 0{,}04094,
e
\eta_{\text{Zn}}\approx \frac{0{,}01}{0{,}04094}\approx 0{,}2443.
Interpretação direta: \eta_{\text{Pb}}>\eta_{\text{Zn}}, ou seja, para as mesmas x e t o ponto em Pb está, em termos adimensionais, “mais distante” da superfície quente; isso sugere que Pb permanecerá relativamente mais frio nesse ponto do que Zn (mas vamos confirmar usando a expressão da temperatura).

Passo 5

Expressão da temperatura e cálculo numérico (critério de segurança).
Breve aula: para um semi‑infinito inicialmente à temperatura T_{i} e que, a partir de t=0, tem a superfície x=0 mantida em T_{S} (constante), a solução da equação do calor é (forma baseada na função erro complementar):
T(x,t)=T_{i}+(T_{S}-T_{i})\,\mathrm{erfc}\!\left(\eta\right),
onde \eta=\dfrac{x}{2\sqrt{\alpha t}} e \mathrm{erfc} é a função erro complementar ( \mathrm{erfc}(\eta)=1-\mathrm{erf}(\eta)). A razão adimensional
\theta(\eta)\equiv\frac{T(x,t)-T_{i}}{T_{S}-T_{i}}=\mathrm{erfc}(\eta)
é útil: valores menores de \theta implicam temperatura mais próxima de T_{i} (mais frio), valores maiores implicam aquecimento maior.
Agora usamos os \eta calculados no passo anterior e avaliamos \mathrm{erfc}(\eta).
Tabela aproximada de valores da função erro (usei valores padrão de tabela/calculadora):
  • \mathrm{erf}(0{,}3205)\approx 0{,}3490 (aprox.)
  • \mathrm{erf}(0{,}2443)\approx 0{,}2740 (aprox.)
Logo:
  • Para Pb: \theta_{\text{Pb}}=\mathrm{erfc}(\eta_{\text{Pb}})=1-\mathrm{erf}(0{,}3205)\approx 1-0{,}3490=0{,}6510.Portanto \frac{T_{\text{Pb}}(x=0{,}01,t=10)-T_{i}}{T_{S}-T_{i}}\approx 0{,}6510.
  • Para Zn: \theta_{\text{Zn}}=\mathrm{erfc}(\eta_{\text{Zn}})=1-\mathrm{erf}(0{,}2443)\approx 1-0{,}2740=0{,}7260.Portanto \frac{T_{\text{Zn}}(x=0{,}01,t=10)-T_{i}}{T_{S}-T_{i}}\approx 0{,}7260.
Interpretação: como \theta_{\text{Pb}}<\theta_{\text{Zn}}, a temperatura relativa em x=1\\ \text{cm} e t=10\\ \text{s} é menor em Pb do que em Zn. Assim, pelo critério de segurança (menor T na cavidade), Pb é mais seguro.
Observação prática: a comparação é independente do valor absoluto de T_{S} e T_{i} desde que T_{S}>T_{i}, porque os resultados são proporcionais a T_{S}-T_{i}.

Passo 6

Cálculo do fluxo de calor superficial q^{\prime\prime} em t=10\\ \text{s} (critério de economia).
Relembre a fórmula (dada no enunciado):
q^{\prime\prime}(t)=\frac{k\,(T_{S}-T_{i})}{\sqrt{\pi \alpha t}}.
Vou calcular o termo adimensional q^{\prime\prime}/(T_{S}-T_{i}) para comparar os materiais (porque T_{S}-T_{i} cancelaria na comparação).
Calcule \sqrt{\pi \alpha t} e depois k/\sqrt{\pi \alpha t}.
Para Pb:
\pi \alpha_{\text{Pb}} t = \pi\times 2{,}432\times 10^{-5}\times 10 = \pi\times 2{,}432\times 10^{-4}\approx 7{,}64\times 10^{-4}.
\sqrt{\pi \alpha_{\text{Pb}} t}\approx \sqrt{7{,}64\times 10^{-4}}\approx 2{,}764\times 10^{-2}.
\frac{q^{\prime\prime}_{\text{Pb}}}{T_{S}-T_{i}}=\frac{k_{\text{Pb}}}{\sqrt{\pi \alpha_{\text{Pb}} t}} =\frac{35{,}3}{0{,}02764}\approx 1{,}277\!\times\!10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
Ou seja,
q^{\prime\prime}_{\text{Pb}}(t=10)\approx 1{,}277\!\times\!10^{3}\,(T_{S}-T_{i})\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Para Zn:
\pi \alpha_{\text{Zn}} t = \pi\times 4{,}192\times 10^{-5}\times 10 = \pi\times 4{,}192\times 10^{-4}\approx 1{,}317\times 10^{-3}.
\sqrt{\pi \alpha_{\text{Zn}} t}\approx \sqrt{1{,}317\times 10^{-3}}\approx 3{,}629\times 10^{-2}.
\frac{q^{\prime\prime}_{\text{Zn}}}{T_{S}-T_{i}}=\frac{k_{\text{Zn}}}{\sqrt{\pi \alpha_{\text{Zn}} t}} =\frac{116}{0{,}03629}\approx 3{,}197\!\times\!10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
Ou seja,
q^{\prime\prime}_{\text{Zn}}(t=10)\approx 3{,}197\!\times\!10^{3}\,(T_{S}-T_{i})\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Comparação direta: q^{\prime\prime}_{\text{Pb}}<q^{\prime\prime}_{\text{Zn}}. Pelo critério econômico (menor q^{\prime\prime} na superfície em t=10\\ \text{s}), Pb é mais econômico porque absorve menos fluxo instantâneo por unidade de diferença de temperatura T_{S}-T_{i}.
Breve interpretação física: apesar de Zn ter maior condutividade k, também tem maior difusividade \alpha (o que aumenta o denominador), mas o efeito combinado \dfrac{k}{\sqrt{\alpha}} resulta num q^{\prime\prime} maior para Zn. No nosso caso numérico o zinco absorve aproximadamente 2,5 vezes mais fluxo do que o chumbo nesse instante.

Passo 7

Tomada de decisão e justificativa final (síntese dos critérios).
Resumo dos resultados:
  • Difusividades: \alpha_{\text{Pb}}\approx 2{,}43\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}, \alpha_{\text{Zn}}\approx 4{,}19\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Variáveis de similaridade: \eta_{\text{Pb}}\approx 0{,}3205, \eta_{\text{Zn}}\approx 0{,}2443.
  • Temperaturas relativas em x=1\\ \text{cm},\\ t=10\\ \text{s}:
    \theta_{\text{Pb}}\approx 0{,}6510 e \theta_{\text{Zn}}\approx 0{,}7260 (onde \theta=(T-T_{i})/(T_{S}-T_{i})). Menor \theta = mais frio internamente → Pb vence em segurança.
  • Fluxos na superfície em t=10\\ \text{s} (por unidade de (T_{S}-T_{i})):
    q''_{\text{Pb}}\approx 1{,}277\times 10^{3}\\ (T_{S}-T_{i})\\ \mathrm{W/m^{2}},
    q''_{\text{Zn}}\approx 3{,}197\times 10^{3}\\ (T_{S}-T_{i})\\ \mathrm{W/m^{2}}. Menor q'' → Pb vence em economia.
Decisão prática: considerando ambos os critérios pedidos (segurança = menor temperatura na cavidade e economia = menor fluxo instantâneo na superfície em t=10\\ \text{s}), o metal preferível é o chumbo (Pb), pois:
  • fornece menor temperatura em x=1\\ \text{cm} depois de 10\\ \text{s} (mais protegido),
  • absorve menor fluxo instantâneo na superfície nesse instante (menor exigência térmica imediata).
Observações finais (importante para uso real):
  • A escolha técnica também deveria levar em conta outros fatores práticos não incluídos nos critérios aqui: resistência mecânica, toxicidade (o chumbo é tóxico), durabilidade, custo, facilidade de usinagem, efeitos de reciclagem, e possivelmente comportamento a diferentes ciclos térmicos. Se a toxicidade for um fator limitante, pode ser necessário escolher um material alternativo com propriedades térmicas semelhantes.
  • Os cálculos usam propriedades médias à temperatura ambiente; se a operação envolver temperaturas elevadas, os valores de k,\\ \rho,\\ c_p mudam e a comparação pode requerer reavaliação.

Resposta

Segurança: Pb (chumbo) — menor temperatura em x=1\\ \text{cm} após t=10\\ \text{s}.
Economia: Pb (chumbo) — menor fluxo de calor instantâneo q^{\prime\prime} na superfície em t=10\\ \text{s}.
Decisão final: Escolher Pb (chumbo), com as justificativas numéricas apresentadas nos passos anteriores.

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