1. Um engenheiro civil utiliza uma trena de latão com comprimento nominal de 30,000 \mathrm{~m} a uma temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C}, temperatura na qual a trena foi calibrada. (Dado: coeficiente de dilatação linear do latão \alpha=1,9 \times 10^{-5} \mathrm{C}^{-1}. (a) Qual é o comprimento real da trena quando a temperatura ambiente atinge 40^{\circ} \mathrm{C}. (b) Sob essa temperatura de 40^{\circ} \mathrm{C}, o engenheiro utiliza a trena para medir a largura de um terreno e encontra o valor lido de 24,550 \mathrm{~m}. Qual é a largura real desse terreno?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • comprimento nominal da trena (calibrada a 15^\circ\mathrm{C}): L_0 = 30,000\\ \mathrm{m} (ou seja, 30,000 significa 30,000\\ \mathrm{m} usando vírgula como separador decimal).
  • coeficiente de dilatação linear do latão: \alpha = 1,9\times10^{-5}\\ \mathrm{C}^{-1}.
  • temperatura de calibração: T_0 = 15^\circ\mathrm{C}.
  • temperatura de uso: T = 40^\circ\mathrm{C}.
  • leitura feita com a trena aquecida: R = 24,550\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
(a) o comprimento real da trena quando a temperatura ambiente é 40^\circ\mathrm{C};
(b) a largura real do terreno, sabendo que a trena, nessa temperatura, indica 24,550\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas):
  • Quando um corpo sofre variação de temperatura, seu comprimento varia aproximadamente segundo a lei da dilatação linear (válida para pequenas variações de temperatura):
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T,
onde:
  • \Delta L é a variação de comprimento (m),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear ( \mathrm{C}^{-1}),
  • L_0 é o comprimento inicial (m) na temperatura de referência,
  • \Delta T é a variação de temperatura em graus Celsius ( \mathrm{C}), isto é \Delta T = T - T_0.
A partir daí, o comprimento final é
L = L_0 + \Delta L = L_0\,(1 + \alpha\,\Delta T).
Explicando em palavras: \alpha diz quanto, por metro, o material cresce por grau Celsius. Multiplicando por L_0 e por \Delta T obtemos quanto o comprimento aumentou; somando a L_0 temos o comprimento real na nova temperatura.

Passo 3

Calcular a variação de temperatura:
\Delta T = T - T_0 = 40^\circ\mathrm{C}-15^\circ\mathrm{C}=25^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Parte (a): calcular a dilatação e o novo comprimento da trena.
Primeiro a variação de comprimento:
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T = (1,9\times10^{-5})\cdot(30,000)\cdot(25).
Faço a conta em etapas: 30,000\cdot25 = 750,000. Então
\Delta L = 1,9\times10^{-5}\cdot750,000.
Calcule 1,9\times10^{-5}\cdot750,000 = 1,9\cdot750,000\times10^{-5} = 1,425\times10^{1}\times10^{-5} — mais direto: 750{,}000\times10^{-5}=7{,}5 e 7{,}5\times1{,}9=14{,}25, mas lembrar das casas decimais dá
\Delta L = 0,01425\\ \mathrm{m}.
Em centímetros, isso é 1,425\\ \mathrm{cm}.
Agora o comprimento final:
L = L_0 + \Delta L = 30,000 + 0,01425 = 30,01425\\ \mathrm{m}.
Ou usando a forma direta:
L = L_0\,(1+\alpha\Delta T) = 30,000\cdot(1+1,9\times10^{-5}\cdot25)=30,000\cdot1,000475=30,01425\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação física do resultado (breve): a trena de 30,000\\ \mathrm{m} (30,000 m = 30,000 metros? lembrando que aqui 30,000 representa 30,000\\ \mathrm{m} com vírgula decimal) aumentou só 0,01425\\ \mathrm{m} quando aquecida de 15^\circ\mathrm{C} para 40^\circ\mathrm{C} — ou seja, cerca de 1,425\\ \mathrm{cm}. É pequena, mas suficiente para causar erro em medições grandes.

Passo 6

Parte (b): raciocínio sobre como a dilatação afeta a leitura da trena.
Explicação didática: a trena tem marcações calibradas para que, à temperatura de 15^\circ\mathrm{C}, a marcação que indica 1\\ \mathrm{m} corresponda exatamente a 1\\ \mathrm{m} real. Se a trena dilata, cada “metro marcado” fica um pouco maior do que 1\\ \mathrm{m}. Portanto, quando a trena dilatada mostra R metros nas suas marcações, o comprimento real medido é maior que R.
Matematicamente: cada unidade marcada de 1\\ \mathrm{m} na trena passa a ter comprimento real 1+\alpha\Delta T metros. Assim, a largura real D do terreno é
D = R\cdot(1+\alpha\,\Delta T).
Outra forma de ver: a razão entre comprimento real da trena e comprimento nominal é L/L_0 = 1+\alpha\Delta T; a leitura R conta quantas unidades nominais cabem, então multiplica-se por essa razão.

Passo 7

Calcular numericamente a largura real usando a fórmula do passo anterior.
Usando \Delta T = 25^\circ\mathrm{C} e 1+\alpha\Delta T = 1,000475:
D = R\,(1+\alpha\Delta T) = 24,550\cdot1,000475.
Calcule a variação: 24,550\cdot0,000475 = 0,01166125. Logo
D = 24,550 + 0,01166125 = 24,56166125\\ \mathrm{m}.
Podemos arredondar conforme a precisão desejada; mantendo várias casas temos 24,56166\\ \mathrm{m} (aprox.). Em centímetros isso corresponde a um acréscimo de cerca de 1,166\\ \mathrm{cm} em relação à leitura.

Passo 8

Comentário final e encorajamento rápido: o método é simples e útil na prova — lembrar sempre de (1) calcular \Delta T, (2) usar \Delta L=\alpha L_0\Delta T para achar o novo comprimento da fita e (3) ao corrigir medidas lidas na fita dilatada, multiplicar a leitura pelo fator 1+\alpha\Delta T. Você conseguiu entender — faz sentido? Vai dar ótimo na prova, respira e repete esses passos umas duas vezes.

Resposta

(a) 30,01425\\ \mathrm{m}
(b) 24,56166125\\ \mathrm{m}

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