- Um engenheiro civil utiliza uma trena de latão com comprimento nominal de
a uma temperatura de
, temperatura na qual a trena foi calibrada. (Dado: coeficiente de dilatação linear do latão
. (a) Qual é o comprimento real da trena quando a temperatura ambiente atinge
. (b) Sob essa temperatura de
, o engenheiro utiliza a trena para medir a largura de um terreno e encontra o valor lido de
. Qual é a largura real desse terreno?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
- comprimento nominal da trena (calibrada a
): (ou seja, significa usando vírgula como separador decimal). - coeficiente de dilatação linear do latão:
. - temperatura de calibração:
. - temperatura de uso:
. - leitura feita com a trena aquecida:
.
O enunciado pede:
(a) o comprimento real da trena quando a temperatura ambiente é ;
(b) a largura real do terreno, sabendo que a trena, nessa temperatura, indica .
(a) o comprimento real da trena quando a temperatura ambiente é
(b) a largura real do terreno, sabendo que a trena, nessa temperatura, indica
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas):
- Quando um corpo sofre variação de temperatura, seu comprimento varia aproximadamente segundo a lei da dilatação linear (válida para pequenas variações de temperatura):
onde:
-
é a variação de comprimento (m), -
é o coeficiente de dilatação linear ( ), -
é o comprimento inicial (m) na temperatura de referência, -
é a variação de temperatura em graus Celsius ( ), isto é .
A partir daí, o comprimento final é
Explicando em palavras:
diz quanto, por metro, o material cresce por grau Celsius. Multiplicando por
e por
obtemos quanto o comprimento aumentou; somando a
temos o comprimento real na nova temperatura.
Passo 3
Calcular a variação de temperatura:
Passo 4
Parte (a): calcular a dilatação e o novo comprimento da trena.
Primeiro a variação de comprimento:
Faço a conta em etapas:
. Então
Calcule
— mais direto:
e
, mas lembrar das casas decimais dá
Em centímetros, isso é
.
Agora o comprimento final:
Ou usando a forma direta:
Passo 5
Interpretação física do resultado (breve): a trena de
(30,000 m = 30,000 metros? lembrando que aqui
representa
com vírgula decimal) aumentou só
quando aquecida de
para
— ou seja, cerca de
. É pequena, mas suficiente para causar erro em medições grandes.
Passo 6
Parte (b): raciocínio sobre como a dilatação afeta a leitura da trena.
Explicação didática: a trena tem marcações calibradas para que, à temperatura de
, a marcação que indica
corresponda exatamente a
real. Se a trena dilata, cada “metro marcado” fica um pouco maior do que
. Portanto, quando a trena dilatada mostra
metros nas suas marcações, o comprimento real medido é maior que
.
Matematicamente: cada unidade marcada de
na trena passa a ter comprimento real
metros. Assim, a largura real
do terreno é
Outra forma de ver: a razão entre comprimento real da trena e comprimento nominal é
; a leitura
conta quantas unidades nominais cabem, então multiplica-se por essa razão.
Passo 7
Calcular numericamente a largura real usando a fórmula do passo anterior.
Usando
e
:
Calcule a variação:
. Logo
Podemos arredondar conforme a precisão desejada; mantendo várias casas temos
(aprox.). Em centímetros isso corresponde a um acréscimo de cerca de
em relação à leitura.
Passo 8
Comentário final e encorajamento rápido: o método é simples e útil na prova — lembrar sempre de (1) calcular
, (2) usar
para achar o novo comprimento da fita e (3) ao corrigir medidas lidas na fita dilatada, multiplicar a leitura pelo fator
. Você conseguiu entender — faz sentido? Vai dar ótimo na prova, respira e repete esses passos umas duas vezes.
Resposta
(a)
(b)
(b)