1. A superfície do sol tem uma temperatura de 5800 K e o raio do sol é cerca de 7 \times 10^{8} \mathrm{~m}. Calcule a energia total radiada pelo sol a cada dia, supondo a emissividade 1.

Passo 1

O enunciado pede a energia total radiada pelo Sol a cada dia, supondo emissividade igual a 1. Os dados fornecidos são:
  • Temperatura da superfície: T=5800\\ \mathrm{K}.
  • Raio do Sol: R=7\times10^{8}\\ \mathrm{m}.
  • Emissividade: \epsilon=1.
Vou usar que um dia tem \Delta t = 86400\\ \mathrm{s}. Não há figura.

Passo 2

Princípio físico usado — Lei de Stefan–Boltzmann (explicação didática):
A potência radiada por unidade de área de um corpo negro (ou superfície com emissividade \epsilon) é dada pela lei de Stefan–Boltzmann:
j^*=\epsilon\,\sigma\,T^{4}.
Aqui:
  • j^* é a potência radiada por unidade de área (em \mathrm{W/m^{2}});
  • \epsilon é a emissividade adimensional ( \epsilon=1 para corpo negro);
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}};
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
A potência total P emitida por um corpo esférico é o fluxo por unidade de área multiplicado pela área da superfície da esfera:
P = j^* \cdot 4\pi R^{2} = \epsilon\,\sigma\,T^{4}\cdot 4\pi R^{2}.
A energia emitida em um intervalo de tempo \Delta t é
E = P \cdot \Delta t.

Passo 3

Calcular T^{4}. Primeiro T^{2} e depois elevar ao quadrado:
T^{2} = (5800)^{2} = 3{,}364\times10^{7},
T^{4} = (T^{2})^{2} = (3{,}364\times10^{7})^{2} = 1{,}1316\times10^{15}.

Passo 4

Calcular o fluxo por unidade de área j^*=\epsilon\sigma T^{4} (uso \epsilon=1):
j^* = 1 \times \left(5{,}670374419\times10^{-8}\right)\times\left(1{,}1316\times10^{15}\right).
Multiplicando os coeficientes e as potências de dez:
j^* \approx 6{,}4166\times10^{7}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
(Interpretação: cada metro quadrado da superfície solar emite cerca de 6{,}4\times10^{7}\\ \mathrm{W}.)

Passo 5

Calcular a área da superfície do Sol:
A = 4\pi R^{2} = 4\pi \times (7\times10^{8})^{2}.
Primeiro R^{2}=(7\times10^{8})^{2}=4{,}9\times10^{17}. Então
A = 4\pi \times 4{,}9\times10^{17} \approx 6{,}1575\times10^{18}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 6

Calcular a potência total P=j^* A:
P \approx \left(6{,}4166\times10^{7}\right)\times\left(6{,}1575\times10^{18}\right).
Multiplicando:
P \approx 3{,}9510\times10^{26}\\ \mathrm{W}.
(Essa é a luminosidade estimada do Sol com os números dados; valor compatível com o valor conhecido \sim3{,}8\times10^{26}\\ \mathrm{W}.)

Passo 7

Calcular a energia total emitida em um dia ( \Delta t=86400\\ \mathrm{s}):
E = P\cdot\Delta t \approx \left(3{,}9510\times10^{26}\right)\times(86400).
Escrevendo 86400=8{,}64\times10^{4} e multiplicando:
E \approx 3{,}4137\times10^{31}\\ \mathrm{J}.

Resposta

E \approx 3{,}41\times10^{31}\\ \mathrm{J}

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