Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa dada por f(t)=700 e^{-0,2 t} milhares de metros cúbicos, onde t é o tempo desde o início da produção. Estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída do poço.

Passo 1

O enunciado dá a taxa de produção do poço como a função
f(t)=700 e^{-0,2 t}
onde f(t) está em milhares de metros cúbicos e t é o tempo contado desde o início da produção. A pergunta é: estimar a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída do poço (ou seja, a produção acumulada ao longo de todo o tempo).

Passo 2

Interpretação matemática do que é pedido (sem resolver ainda): a função f(t) é uma taxa (volume por unidade de tempo). Para obter a quantidade total extraída ao longo do tempo, soma-se (integra-se) essa taxa desde o início ( t=0) até o fim da produção. Aqui o “fim” é infinito (assumimos que o modelo vale para todo t\ge0), portanto devemos calcular uma integral imprópria
\text{Quantidade total}=\int_{0}^{\infty} f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}700 e^{-0,2 t}\,dt.
Antes de calcular, vou explicar com calma o porquê dessa integral e o que cada símbolo representa: dt indica um pedaço infinitesimal de tempo; f(t)\,dt é o volume produzido nesse pequeno intervalo; integrar de 0 a \infty soma todos os pedacinhos ao longo de todo o tempo.

Passo 3

Lembrando uma fórmula fundamental para integrais de exponenciais decrescentes: para qualquer constante a>0 vale
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt=\frac{1}{a}.
Explicação curta e didática dessa fórmula: uma primitiva (integral indefinida) de e^{-a t} é -\dfrac{1}{a}e^{-a t}. Ao avaliar entre t=0 e t\to\infty temos
\lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{a}e^{-a T}\right)-\left(-\frac{1}{a}e^{-a\cdot 0}\right)=0+\frac{1}{a}=\frac{1}{a},
porque e^{-a T}\to 0 quando T\to\infty. No nosso caso a=0,2, que é positivo, então a integral converge e a fórmula vale.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso integrando: como há o fator constante 700, podemos colocá-lo fora da integral:
\int_{0}^{\infty}700 e^{-0,2 t}\,dt=700\int_{0}^{\infty}e^{-0,2 t}\,dt.
Pelo resultado do passo anterior com a=0,2,
\int_{0}^{\infty}e^{-0,2 t}\,dt=\frac{1}{0,2}=5.
Logo
700\cdot 5=3500.
Aqui 3500 está na unidade em que f foi dada: milhares de metros cúbicos.

Passo 5

Converter para metros cúbicos “normais”: 3500 milhares de metros cúbicos é
3500\times 10^{3}=3{,}5\times 10^{6}\\ \text{m}^3,
ou seja 3{,}500{,}000\\ \text{m}^3.

Passo 6

Interpretação final e observação prática: o modelo exponencial dá uma produção total finita porque a taxa decai rapidamente e integra-se a um valor limite. Na prática, isso significa que, segundo o modelo dado, o poço produzirá ao todo 3{,}5\times 10^{6}\\ \text{m}^3 de gás (pressupondo que o modelo se mantém válido por todo o tempo).

Resposta

3500 milhares de metros cúbicos
3{,}5\times10^{6}\\ \text{m}^3

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