Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa dada por
milhares de metros cúbicos, onde
é o tempo desde o início da produção. Estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída do poço.
Passo 1
O enunciado dá a taxa de produção do poço como a função
onde
está em milhares de metros cúbicos e
é o tempo contado desde o início da produção. A pergunta é: estimar a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída do poço (ou seja, a produção acumulada ao longo de todo o tempo).
Passo 2
Interpretação matemática do que é pedido (sem resolver ainda): a função
é uma taxa (volume por unidade de tempo). Para obter a quantidade total extraída ao longo do tempo, soma-se (integra-se) essa taxa desde o início (
) até o fim da produção. Aqui o “fim” é infinito (assumimos que o modelo vale para todo
), portanto devemos calcular uma integral imprópria
Antes de calcular, vou explicar com calma o porquê dessa integral e o que cada símbolo representa:
indica um pedaço infinitesimal de tempo;
é o volume produzido nesse pequeno intervalo; integrar de
a
soma todos os pedacinhos ao longo de todo o tempo.
Passo 3
Lembrando uma fórmula fundamental para integrais de exponenciais decrescentes: para qualquer constante
vale
Explicação curta e didática dessa fórmula: uma primitiva (integral indefinida) de
é
. Ao avaliar entre
e
temos
porque
quando
. No nosso caso
, que é positivo, então a integral converge e a fórmula vale.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso integrando: como há o fator constante
, podemos colocá-lo fora da integral:
Pelo resultado do passo anterior com
,
Logo
Aqui
está na unidade em que
foi dada: milhares de metros cúbicos.
Passo 5
Converter para metros cúbicos “normais”:
milhares de metros cúbicos é
ou seja
.
Passo 6
Interpretação final e observação prática: o modelo exponencial dá uma produção total finita porque a taxa decai rapidamente e integra-se a um valor limite. Na prática, isso significa que, segundo o modelo dado, o poço produzirá ao todo
de gás (pressupondo que o modelo se mantém válido por todo o tempo).