Calcule as integrais definidas. (Este exercício é para relembrar os seguintes métodos de integração: integração trigonométrica, substituição trigonométrica e frações parciais).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes dadas:
- Os limites de integração são
e . - A integranda é
.
O que precisamos entregar: o valor exato da integral definida entree .
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (mini-aula rápida).
Uma boa estratégia é buscar uma primitiva simples da função. Vou tentar identificar uma função cuja derivada seja (ou um múltiplo dela). Para isso vou lembrar duas regras básicas:
Uma boa estratégia é buscar uma primitiva simples da função. Vou tentar identificar uma função cuja derivada seja
- Regra do produto: se
e são funções, . - Regra da cadeia: se
, então .
Também é útil saber derivadas comuns: por exemplo,(aplicando cadeia). Vou procurar uma combinação com esse comportamento.
Motivação prática: às vezes reconhecer uma primitiva fechada é mais rápido do que uma substituição trigonométrica longa. Ainda assim, depois mostro rapidamente como a substituição trigonométrica confirmaria o resultado.
Passo 3
Encontrar uma primitiva por reconhecimento (desenvolvimento detalhado).
Vou testar a função candidata
Vou testar a função candidata
Calculo
usando produto e cadeia:
Simplificando o segundo termo (o
cancela com
):
Coloco no mesmo denominador
:
Logo
Portanto uma primitiva de
é
, isto é
Comentário didático curto: reconhecer essa primitiva é útil em prova porque evita substituições longas; a ideia é tentar funções do tipo
e testar por derivação. Aqui deu certinho.
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (avaliar a primitiva nos limites).
Usando a primitiva encontrada, a integral definida vale
Usando a primitiva encontrada, a integral definida vale
Agora avalio nos extremos:
Para :
Para
Para
:
A diferença (valor no superior menos no inferior) é
Passo 5
Simplificar a expressão final (opcional, só para deixar mais “bonito”).
Posso racionalizar ou combinar em um único quociente. Uma forma com denominador comum é
Posso racionalizar ou combinar em um único quociente. Uma forma com denominador comum é
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que preferir na prova.
Breve encorajamento: deu trabalho só seguir a derivada uma vez, mas essa ideia cai muito em prova — treine reconhecer padrões como esse porque economiza tempo.