Calcule as integrais definidas. (Este exercício é para relembrar os seguintes métodos de integração: integração trigonométrica, substituição trigonométrica e frações parciais).
\int_{2}^{3} \frac{d x}{\left(x^{2}-1\right)^{\frac{3}{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{2}^{3} \frac{dx}{\left(x^{2}-1\right)^{\frac{3}{2}}}.
Informações relevantes dadas:
  • Os limites de integração são x=2 e x=3.
  • A integranda é \dfrac{1}{(x^{2}-1)^{3/2}}.
    O que precisamos entregar: o valor exato da integral definida entre 2 e 3.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (mini-aula rápida).
Uma boa estratégia é buscar uma primitiva simples da função. Vou tentar identificar uma função cuja derivada seja \dfrac{1}{(x^{2}-1)^{3/2}} (ou um múltiplo dela). Para isso vou lembrar duas regras básicas:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}[u v] = u'v + uv'.
  • Regra da cadeia: se g(x) = h(f(x)), então g'(x)=h'(f(x))\cdot f'(x).
    Também é útil saber derivadas comuns: por exemplo, \dfrac{d}{dx}\big((x^{2}-1)^{-1/2}\big) = -\dfrac{x}{(x^{2}-1)^{3/2}} (aplicando cadeia). Vou procurar uma combinação com esse comportamento.
Motivação prática: às vezes reconhecer uma primitiva fechada é mais rápido do que uma substituição trigonométrica longa. Ainda assim, depois mostro rapidamente como a substituição trigonométrica confirmaria o resultado.

Passo 3

Encontrar uma primitiva por reconhecimento (desenvolvimento detalhado).
Vou testar a função candidata
F(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} = x\,(x^{2}-1)^{-1/2}.
Calculo F'(x) usando produto e cadeia:
F'(x)=1\cdot (x^{2}-1)^{-1/2} + x\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x^{2}-1)^{-3/2}\cdot(2x).
Simplificando o segundo termo (o 2 cancela com \tfrac{1}{2}):
F'(x)=(x^{2}-1)^{-1/2} - x^{2}(x^{2}-1)^{-3/2}.
Coloco no mesmo denominador (x^{2}-1)^{3/2}:
F'(x)=\frac{x^{2}-1}{(x^{2}-1)^{3/2}} - \frac{x^{2}}{(x^{2}-1)^{3/2}} = \frac{x^{2}-1-x^{2}}{(x^{2}-1)^{3/2}} = \frac{-1}{(x^{2}-1)^{3/2}}.
Logo
F'(x)=-\frac{1}{(x^{2}-1)^{3/2}}.
Portanto uma primitiva de \dfrac{1}{(x^{2}-1)^{3/2}} é -F(x), isto é
\int \frac{dx}{(x^{2}-1)^{3/2}} = -\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} + C.
Comentário didático curto: reconhecer essa primitiva é útil em prova porque evita substituições longas; a ideia é tentar funções do tipo x(x^{2}-1)^{\alpha} e testar por derivação. Aqui deu certinho.

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (avaliar a primitiva nos limites).
Usando a primitiva encontrada, a integral definida vale
\int_{2}^{3} \frac{dx}{(x^{2}-1)^{3/2}} = \left[-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\right]_{2}^{3}.
Agora avalio nos extremos:
Para x=3:
-\frac{3}{\sqrt{3^{2}-1}} = -\frac{3}{\sqrt{9-1}} = -\frac{3}{\sqrt{8}} = -\frac{3}{2\sqrt{2}}.
Para x=2:
-\frac{2}{\sqrt{2^{2}-1}} = -\frac{2}{\sqrt{4-1}} = -\frac{2}{\sqrt{3}}.
A diferença (valor no superior menos no inferior) é
\left(-\frac{3}{2\sqrt{2}}\right) - \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{3}{2\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{3}{2\sqrt{2}}.

Passo 5

Simplificar a expressão final (opcional, só para deixar mais “bonito”).
Posso racionalizar ou combinar em um único quociente. Uma forma com denominador comum é
\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{3}-9\sqrt{2}}{12}.
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que preferir na prova.
Breve encorajamento: deu trabalho só seguir a derivada uma vez, mas essa ideia cai muito em prova — treine reconhecer padrões como esse porque economiza tempo.

Resposta

\dfrac{2}{\sqrt{3}} - \dfrac{3}{2\sqrt{2}} = \dfrac{8\sqrt{3}-9\sqrt{2}}{12}

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