Um engrenamento de engrenagens cônicas retas de 90^{\circ} é necessário para dar uma redução de 4,5:1. Determine os (a) ângulos do cone de referência, (b) diâmetros de referência e (c) forças nas engrenagens se o pinhão de ângulo de pressão de 20^{\circ} tiver 18 dentes de pd =5 e a potência transmitida for 7460 W a uma rotação de 800 rpm do pinhão.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos projetar um par de engrenagens cônicas retas com ângulo de eixos de 90^\circ e razão de redução
i = \frac{\omega_1}{\omega_2} = 4{,}5\colon1,
sendo o pinhão 1 com Z_1=18 dentes, pressão de \varphi=20^\circ e passo diametral P_d=5. Transmite-se P=7460 W a n_1=800 rpm. Conteúdo usado: geometria de cones de referência para engrenagem cônica e análise de forças de um par cônico.

Passo 2

Determinar Z_2 e os ângulos de cone \delta_1 e \delta_2.
Como
i = \frac{Z_2}{Z_1} = 4{,}5 \quad\Longrightarrow\quad Z_2 = 4{,}5\cdot 18 = 81.
Para engrenagens cônicas de eixos a 90^\circ, vale
\delta_1 = \arctan\!\biggl(\frac{Z_1}{Z_2}\biggr), \quad \delta_2 = 90^\circ - \delta_1.
Logo,
\delta_1 = \arctan\!\Bigl(\frac{18}{81}\Bigr)\approx 12,53^\circ, \quad \delta_2 = 90^\circ - 12,53^\circ = 77,47^\circ.

Passo 3

Calcular diâmetros de referência usando P_d. Em sistema imperial tem-se
d = \frac{Z}{P_d}\quad(\text{polegadas}).
Convertendo para mm ( 1" = 25{,}4 mm):
d_1 = \frac{18}{5}\,\text{in} = 3{,}6'' = 3{,}6\cdot25{,}4 = 91{,}44\text{ mm},
d_2 = \frac{81}{5}\,\text{in} = 16{,}2'' = 16{,}2\cdot25{,}4 = 411{,}48\text{ mm}.

Passo 4

Determinar o torque no pinhão:
\omega_1 = \frac{2\pi\,n_1}{60} = \frac{2\pi\cdot800}{60}\approx83{,}78\\ \text{rad/s},
T_1 = \frac{P}{\omega_1} = \frac{7460}{83{,}78}\approx89{,}05\\ \text{N\cdotm}.

Passo 5

Força tangencial no pinhão:
F_t = \frac{2\,T_1}{d_1} = \frac{2\cdot89{,}05}{0{,}09144}\approx1947\\ \text{N}.

Passo 6

Força normal ao dente:
F_n = \frac{F_t}{\cos\varphi} = \frac{1947}{\cos20^\circ}\approx \frac{1947}{0{,}9397}\approx2071\\ \text{N}.

Passo 7

Decompor F_n em componente radial (no plano de rotação) e componente axial (empuxo) para cada roda, usando os ângulos de cone:
Para o pinhão \delta_1=12,53^\circ:
F_{r1} = F_n\cos\delta_1 = 2071\cos12,53^\circ\approx2023\\ \text{N},
F_{a1} = F_n\sin\delta_1 = 2071\sin12,53^\circ\approx450\\ \text{N}.
Para a coroa \delta_2=77,47^\circ:
F_{r2} = F_n\cos\delta_2 = 2071\cos77,47^\circ\approx450\\ \text{N},
F_{a2} = F_n\sin\delta_2 = 2071\sin77,47^\circ\approx2023\\ \text{N}.

Resposta

(a) \delta_1\approx12,53^\circ, \delta_2\approx77,47^\circ
(b) d_1\approx91{,}44\text{ mm}, d_2\approx411{,}48\text{ mm}
(c)
F_t\approx1947 N;
— No pinhão: F_{r1}\approx2023 N, F_{a1}\approx450 N;
— Na coroa: F_{r2}\approx450 N, F_{a2}\approx2023 N.

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