Um ensaio de cisalhamento direto foi realizado com uma areia seca sem cimentação entre grãos com um corpo de prova de dimensões 50 \mathrm{~mm} \times 50 \mathrm{~mm} \times 25 \mathrm{~mm} (altura), sob uma carga normal de 50 kgf . A força cisalhante medida na ruptura foi de 31,2 \mathrm{kgf}. Determine: a) os parâmetros de resistência desta areia;
\text { Resposta: } \mathbf{c}^{\prime}=\mathbf{0} ; \boldsymbol{\Phi}^{\prime}=\mathbf{3 2}^{\circ}
b) o valor da máxima tensão cisalhante a que o corpo de prova foi submetido quando da ruptura e em que plano ocorre;
\text { Resposta: } \boldsymbol{\tau}=\mathbf{1 4 7 k P a} ; \boldsymbol{\theta}=\mathbf{4 5 ^ { \circ }}
c) o valor da força cisalhante (em kgf) esperada em um novo ensaio realizado com tensão normal de 300 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}.
Resposta: \tau =46,8 kgf

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que vem do enunciado é usado sem perguntar nada).
Dados fornecidos:
  • Dimensões do corpo de prova: 50\\ \mathrm{mm}\times50\\ \mathrm{mm}\times25\\ \mathrm{mm}.
  • Carga normal aplicada no ensaio original: 50\\ \mathrm{kgf}.
  • Força cisalhante medida na ruptura: 31{,}2\\ \mathrm{kgf}.
Perguntas do enunciado:
a) Determinar os parâmetros de resistência da areia: coesão efetiva \,c'\, e ângulo de atrito efetivo \,\Phi'.
b) Determinar o valor da máxima tensão cisalhante a que o corpo de prova foi submetido na ruptura (em kPa) e em que plano isso ocorre (ângulo).
c) Para um novo ensaio com tensão normal \,300\\ \mathrm{kN/m^2}\,, calcular a força cisalhante esperada (em kgf).
Observação útil (já vou usar depois): a área do plano de cisalhamento é a face 50\\ \mathrm{mm}\times50\\ \mathrm{mm}, isto é
A = 50\\ \mathrm{mm}\times50\\ \mathrm{mm}=2500\\ \mathrm{mm}^2=0{,}0025\\ \mathrm{m}^2.

Passo 2

Calcular as tensões normais e cisalhantes no ensaio original (unidades consistentes).
  1. Tensão normal na superfície de cisalhamento (força por área). Primeiro converto a força em Newtons para poder obter kPa, mas também posso operar em kgf se preferir — a razão \tau/\sigma não depende da unidade, o que é útil para obter o ângulo de atrito.
Força normal: 50\\ \mathrm{kgf}. Área: A=0{,}0025\\ \mathrm{m}^2.
  • Em unidades do SI (Pa):
\sigma_n = \frac{50\\ \mathrm{kgf}\times 9{,}80665\\ \mathrm{N/kgf}}{0{,}0025\\ \mathrm{m}^2} = \frac{490{,}3325\\ \mathrm{N}}{0{,}0025\\ \mathrm{m}^2} =196132{,}999\\ \mathrm{Pa}\approx196{,}13\\ \mathrm{kPa}.
  1. Tensão cisalhante medida na ruptura:
    Força cisalhante 31{,}2\\ \mathrm{kgf}. Em Pa:
\tau_{\text{med}}=\frac{31{,}2\\ \mathrm{kgf}\times9{,}80665}{0{,}0025} =\frac{305{,}847\\ \mathrm{N}}{0{,}0025} =122338{,}8\\ \mathrm{Pa}\approx122{,}34\\ \mathrm{kPa}.
(Dica amiga: se eu operar em kgf/mm^2 ou em kgf/m^2 a razão \tau/\sigma dá o mesmo número, então para achar \Phi' não preciso converter; para obter valores em kPa precisei da conversão.)

Passo 3

Determinar os parâmetros de resistência: c' e \Phi'.
  • A areia é seca e “sem cimentação entre grãos”: isso significa areia não coesiva — ou seja assumimos
c' = 0.
  • Para areia sem coesão, a lei de resistência de Mohr–Coulomb reduz-se a
\tau = \sigma_n \tan\Phi'.
Logo
\tan\Phi'=\frac{\tau_{\text{med}}}{\sigma_n}.
Usando os valores em kgf (razão direta) ou em kPa (idem), tomo a razão com os números do Passo 2:
\tan\Phi'=\frac{31{,}2}{50}=0{,}624.
Logo
\Phi'=\arctan(0{,}624)\approx 32^\circ.
Explicando rápido: a tangente do ângulo de atrito é a razão entre a tensão cisalhante de ruptura e a tensão normal no plano de ruptura quando a coesão é zero. É só aplicar a função arco-tangente. Não tem segredo — é por isso que muitos ensaios diretos são usados para medir \Phi'.

Passo 4

Determinar a máxima tensão cisalhante no corpo de prova (geometria de Mohr) e em que plano ocorre.
Explicação conceitual curta e intuitiva: o estado de tensões no ponto pode ser representado por um círculo de Mohr. O ponto (\sigma_n,\tau_{\text{med}}) corresponde ao ponto da circunferência relativo ao plano que rompeu. Para uma envoltória de falha do tipo \tau=\sigma\tan\Phi' que passa pela origem (cohesão zero), a circunferência de Mohr que tangencia essa reta tem centro C no eixo das tensões e raio R ligados geometricamente ao ângulo \Phi'. Fazendo a geometria (distância do centro à reta = raio), chega-se ao resultado analítico abaixo.
Derivação rápida (sem pular passos importantes):
  • Seja C o centro do círculo de Mohr (abscissa no eixo das tensões) e R o raio. A reta de falha é \tau=\sigma\tan\Phi'. A distância do centro (C,0) até essa reta é C\sin\Phi' (geometria).
  • Condição de tangência: R=C\sin\Phi'.
  • Como o ponto (\sigma_n,\tau_{\text{med}}) está na circunferência,
(\sigma_n-C)^2+\tau_{\text{med}}^2=R^2=(C\sin\Phi')^2.
  • Substituindo \tau_{\text{med}}=\sigma_n\tan\Phi' (porque no ponto de ruptura \tau=\sigma\tan\Phi') obtém-se, após manipulação algébrica, a identidade perfeita
C\cos^2\Phi'=\sigma_n, \quad\text{isto é}\quad C=\frac{\sigma_n}{\cos^2\Phi'}.é
  • Então o raio (máxima tensão cisalhante no material, isto é R) é
R = C\sin\Phi'=\frac{\sigma_n\sin\Phi'}{\cos^2\Phi'} = \sigma_n\;\frac{\sin\Phi'}{\cos^2\Phi'}.
Este R é a máxima tensão cisalhante absoluta a que o elemento foi submetido (o maior valor de \tau no círculo de Mohr): \tau_{\max}=R.
Agora faço as contas numéricas usando \sigma_n\approx196{,}13\\ \mathrm{kPa} e \Phi'\approx32^\circ.
  • \sin32^\circ\approx0{,}52992.
  • \cos32^\circ\approx0{,}84805, então \cos^2 32^\circ\approx0{,}71920.
  • Coeficiente \dfrac{\sin\Phi'}{\cos^2\Phi'}\approx \dfrac{0{,}52992}{0{,}71920}\approx0{,}73706.
Portanto
\tau_{\max}=196{,}13\\ \mathrm{kPa}\times0{,}73706\approx144{,}6\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando com precisão prática, escreve-se \tau_{\max}\approx145\\ \mathrm{kPa}. (O enunciado dá 147\\ \mathrm{kPa}; a pequena diferença vem de arredondamentos/interpretações de unidades usadas — o processo e a fórmula são esses.)
Quanto ao plano onde ocorre a máxima tensão cisalhante: genericamente, a máxima tensão cisalhante em um estado plano de tensões ocorre em planos orientados a 45^\circ em relação aos eixos principais de tensão. Assim a máxima cisalhante ocorre em planos que formam \,45^\circ com as direções principais — resposta prática:
\theta=45^\circ.

Passo 5

Calcular a força cisalhante esperada no novo ensaio com tensão normal \,300\\ \mathrm{kN/m^2}.
Para solo sem coesão vale \tau=\sigma_n\tan\Phi'. Então:
  • \sigma_{\text{novo}}=300\\ \mathrm{kN/m^2}=300\\ \mathrm{kPa}.
  • \tan\Phi'=\tan32^\circ\approx0{,}624.
Logo
\tau_{\text{novo}}=300\\ \mathrm{kPa}\times0{,}624=187{,}2\\ \mathrm{kPa}.
Força cisalhante sobre a amostra (= tensão \times área):
F_{\text{cis,novo}}=\tau_{\text{novo}}\times A =187{,}2\\ \mathrm{kPa}\times0{,}0025\\ \mathrm{m}^2 =468\\ \mathrm{N}.
Converter para \mathrm{kgf} (dividindo por 9{,}80665\\ \mathrm{m/s^2}):
F_{\text{cis,novo}}=\frac{468\\ \mathrm{N}}{9{,}80665\\ \mathrm{N/kgf}}\approx47{,}7\\ \mathrm{kgf}.
(O enunciado traz como resposta 46{,}8\\ \mathrm{kgf}; a diferença é pequena e vem de aproximações/valores de g ou de arredondamento do ângulo — o procedimento e a ordem de grandeza estão corretos.)

Resposta

a) c'=0; \Phi'=32^\circ
b) \tau_{\max}\approx145\\ \mathrm{kPa}; \theta=45^\circ
c) F_{\text{cis,novo}}\approx47{,}7\\ \mathrm{kgf}

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