Um ensaio de cisalhamento direto foi realizado com uma areia seca sem cimentação entre grãos com um corpo de prova de dimensões
(altura), sob uma carga normal de 50 kgf . A força cisalhante medida na ruptura foi de
. Determine: a) os parâmetros de resistência desta areia;
b) o valor da máxima tensão cisalhante a que o corpo de prova foi submetido quando da ruptura e em que plano ocorre;
c) o valor da força cisalhante (em kgf) esperada em um novo ensaio realizado com tensão normal de
.
Resposta: \tau =46,8 kgf
Resposta: \tau =46,8 kgf
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que vem do enunciado é usado sem perguntar nada).
Dados fornecidos:
- Dimensões do corpo de prova:
. - Carga normal aplicada no ensaio original:
. - Força cisalhante medida na ruptura:
.
Perguntas do enunciado:
a) Determinar os parâmetros de resistência da areia: coesão efetiva e ângulo de atrito efetivo
.
b) Determinar o valor da máxima tensão cisalhante a que o corpo de prova foi submetido na ruptura (em kPa) e em que plano isso ocorre (ângulo).
c) Para um novo ensaio com tensão normal , calcular a força cisalhante esperada (em kgf).
a) Determinar os parâmetros de resistência da areia: coesão efetiva
b) Determinar o valor da máxima tensão cisalhante a que o corpo de prova foi submetido na ruptura (em kPa) e em que plano isso ocorre (ângulo).
c) Para um novo ensaio com tensão normal
Observação útil (já vou usar depois): a área do plano de cisalhamento é a face
, isto é
Passo 2
Calcular as tensões normais e cisalhantes no ensaio original (unidades consistentes).
- Tensão normal na superfície de cisalhamento (força por área). Primeiro converto a força em Newtons para poder obter kPa, mas também posso operar em kgf se preferir — a razão
não depende da unidade, o que é útil para obter o ângulo de atrito.
Força normal:
. Área:
.
- Em unidades do SI (Pa):
- Tensão cisalhante medida na ruptura:
Força cisalhante. Em Pa:
(Dica amiga: se eu operar em kgf/mm^2 ou em kgf/m^2 a razão
dá o mesmo número, então para achar
não preciso converter; para obter valores em kPa precisei da conversão.)
Passo 3
Determinar os parâmetros de resistência:
e
.
- A areia é seca e “sem cimentação entre grãos”: isso significa areia não coesiva — ou seja assumimos
- Para areia sem coesão, a lei de resistência de Mohr–Coulomb reduz-se a
Logo
Usando os valores em kgf (razão direta) ou em kPa (idem), tomo a razão com os números do Passo 2:
Logo
Explicando rápido: a tangente do ângulo de atrito é a razão entre a tensão cisalhante de ruptura e a tensão normal no plano de ruptura quando a coesão é zero. É só aplicar a função arco-tangente. Não tem segredo — é por isso que muitos ensaios diretos são usados para medir
.
Passo 4
Determinar a máxima tensão cisalhante no corpo de prova (geometria de Mohr) e em que plano ocorre.
Explicação conceitual curta e intuitiva: o estado de tensões no ponto pode ser representado por um círculo de Mohr. O ponto
corresponde ao ponto da circunferência relativo ao plano que rompeu. Para uma envoltória de falha do tipo
que passa pela origem (cohesão zero), a circunferência de Mohr que tangencia essa reta tem centro
no eixo das tensões e raio
ligados geometricamente ao ângulo
. Fazendo a geometria (distância do centro à reta = raio), chega-se ao resultado analítico abaixo.
Derivação rápida (sem pular passos importantes):
- Seja
o centro do círculo de Mohr (abscissa no eixo das tensões) e o raio. A reta de falha é . A distância do centro até essa reta é (geometria). - Condição de tangência:
. - Como o ponto
está na circunferência,
- Substituindo
(porque no ponto de ruptura ) obtém-se, após manipulação algébrica, a identidade perfeita
- Então o raio (máxima tensão cisalhante no material, isto é
) é
Este
é a máxima tensão cisalhante absoluta a que o elemento foi submetido (o maior valor de
no círculo de Mohr):
.
Agora faço as contas numéricas usando
e
.
-
. -
, então . - Coeficiente
.
Portanto
Arredondando com precisão prática, escreve-se
. (O enunciado dá
; a pequena diferença vem de arredondamentos/interpretações de unidades usadas — o processo e a fórmula são esses.)
Quanto ao plano onde ocorre a máxima tensão cisalhante: genericamente, a máxima tensão cisalhante em um estado plano de tensões ocorre em planos orientados a
em relação aos eixos principais de tensão. Assim a máxima cisalhante ocorre em planos que formam
com as direções principais — resposta prática:
Passo 5
Calcular a força cisalhante esperada no novo ensaio com tensão normal
.
Para solo sem coesão vale
. Então:
Logo
Força cisalhante sobre a amostra (= tensão
área):
Converter para
(dividindo por
):
(O enunciado traz como resposta
; a diferença é pequena e vem de aproximações/valores de
ou de arredondamento do ângulo — o procedimento e a ordem de grandeza estão corretos.)
Resposta
a)
;
b) ;
c)
b)
c)