Três cargas pontuais estão localizadas no eixo x. A carga positiva \boldsymbol{q} \mathbf{1} \boldsymbol{=} \mathbf{1 5 , 0} \boldsymbol{\mu} \mathbf{C} está em \boldsymbol{x} \boldsymbol{=} \mathbf{2 , 0 0 ~ m}, a carga positiva q2 =6,00 \mu \mathrm{C} na origem e a força resultante sobre q3 é zero. Qual é a coordenada x de q3 e o sinal da sua carga?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Estão no eixo x:
    • q_1 = 15{,}0\\ \mu\mathrm{C} em x_1 = 2{,}00\\ \mathrm{m}.
    • q_2 = 6{,}00\\ \mu\mathrm{C} em x_2 = 0{,}00\\ \mathrm{m}.
    • Existe uma terceira carga q_3 em uma posição x (desconhecida) tal que a força resultante sobre q_3 é zero.
  • Perguntas:
    1. Qual é a coordenada x de q_3?
    2. Qual é o sinal (positivo ou negativo) de q_3?

Passo 2

Relembrando a lei que vamos usar (aquela velhinha que sempre aparece): a Lei de Coulomb. Ela diz que a força eletrostática entre duas cargas pontuais é
F = k\,\frac{|q_a q_b|}{r^2},
onde:
  • k é a constante eletrostática (não precisamos do valor numérico aqui, porque vai se cancelar),
  • q_a e q_b são as cargas (em Coulombs),
  • r é a distância entre as cargas,
  • F é a magnitude da força (sempre positiva; a direção vem do sinal das cargas e da posição).
Também é importante o princípio da superposição: a força total sobre q_3 é a soma vetorial das forças devido a q_1 e q_2. Para que a força resultante seja zero, as duas forças devem ter a mesma magnitude e direções opostas.

Passo 3

Analisar onde q_3 pode estar no eixo x. Há três regiões possíveis:
  • x<0 (à esquerda de q_2),
  • 0<x<2 (entre q_2 e q_1),
  • x>2 (à direita de q_1).
Como q_1 e q_2 são ambas positivas, pense nas direções das forças sobre um q_3:
  • Se q_3 estiver à direita de ambas ( x>2), as forças de q_1 e q_2 têm a mesma direção (ambas empurram ou atraem para a mesma direção), logo não podem se anular.
  • Se q_3 estiver à esquerda de ambas ( x<0), mesma coisa: as forças apontam na mesma direção.
  • Se q_3 estiver entre elas ( 0<x<2), as forças de q_1 e q_2 sobre q_3 apontam em sentidos opostos (uma puxa/empurra para a direita, a outra para a esquerda), então é possível que se cancelem.
Conclusão: q_3 deve estar entre q_2 e q_1, ou seja 0<x<2.

Passo 4

Agora escrevemos a condição de equilíbrio (forças com mesmas magnitudes). Denotando a distância de q_3 a q_2 por r_2 e a q_3 a q_1 por r_1:
r_2 = x - 0 = x,\qquad r_1 = 2{,}00 - x.
As magnitudes das forças são
F_{2\to3} = k\,\frac{|q_2 q_3|}{r_2^2},\qquad F_{1\to3} = k\,\frac{|q_1 q_3|}{r_1^2}.
Para equilíbrio F_{2\to3}=F_{1\to3}. Igualando e cancelando k e |q_3| (assumindo q_3\neq0):
\frac{q_2}{x^2}=\frac{q_1}{(2-x)^2}.

Passo 5

Resolver a equação para x. Tomando raiz positiva dos dois lados (distâncias positivas):
\frac{\sqrt{q_2}}{x}=\frac{\sqrt{q_1}}{2-x} \quad\Rightarrow\quad \frac{2-x}{x}=\sqrt{\frac{q_1}{q_2}}.
Isolando x:
2-x = x\sqrt{\frac{q_1}{q_2}} \quad\Rightarrow\quad 2 = x\!\left(1+\sqrt{\frac{q_1}{q_2}}\right) \quad\Rightarrow\quad x=\frac{2}{1+\sqrt{\dfrac{q_1}{q_2}}}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos de q_1 e q_2 (uso de \mu\mathrm{C} cancela também, pois é razão):
\sqrt{\frac{q_1}{q_2}}=\sqrt{\frac{15{,}0}{6{,}00}}=\sqrt{2{,}5}=1{,}58113883\ldots
Logo
x=\frac{2}{1+1{,}58113883\ldots}=\frac{2}{2{,}58113883\ldots}=0{,}7745966692\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos):
x\approx0{,}775\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Determinar o sinal de q_3. Observação importante: na equação de equilíbrio que usamos a magnitude |q_3| cancelou, então a condição de força resultante nula fixa somente a posição x, não o sinal de q_3. Fisicamente:
  • Se q_3 for positivo, q_2 e q_1 o repelem em sentidos opostos (entre elas), podendo anular as forças no ponto encontrado.
  • Se q_3 for negativo, q_2 e q_1 o atraem em sentidos opostos (entre elas), também podendo anular as forças no mesmo ponto.
Portanto, apenas com a informação de que a força resultante é zero não se consegue determinar o sinal de q_3. Ambos os sinais são compatíveis com equilíbrio estático naquele ponto.

Resposta

x=0{,}775\\ \mathrm{m}
Sinal: indeterminado (pode ser + ou -)

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