Numa série de ensaios de cisalhamento direto realizados sobre um mesmo material obtiveram-se os seguintes resultados:
ENSAIO
1
2
3
Tensão normal (kPa)
100
200
400
Tensão cisalhante máxima (kPa)
75
131
240
Determinar os parâmetros de resistência do material e o valor das tensões e direção dos planos principais para o ensaio 2
Resposta:
| ENSAIO | 1 | 2 | 3 |
| Tensão normal (kPa) | 100 | 200 | 400 |
| Tensão cisalhante máxima (kPa) | 75 | 131 | 240 |
Passo 1
O enunciado fornece três ensaios de cisalhamento direto com as tensões normais aplicadas e as tensões cisalhantes máximas obtidas (peguei estes números da tabela do enunciado):
- Ensaio 1:
, . - Ensaio 2:
, . - Ensaio 3:
, .
O que o problema pede:
- Determinar os parâmetros de resistência do material: coesão
e ângulo de atrito (lei de Mohr‑Coulomb na forma ). - Para o ensaio 2 (onde
e ), determinar as tensões principais e e a direção dos planos principais (ângulo entre o plano de ruptura e o plano principal).
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Em ensaios de cisalhamento direto, a ruptura costuma obedecer ao critério de Mohr‑Coulomb, escrito na forma
onde:
-
é a tensão cisalhante na superfície de ruptura (aqui medido no ensaio), -
é a tensão normal sobre essa superfície (aqui: tensão normal aplicada no ensaio), -
é a coesão (em kPa), -
é o ângulo de atrito interno (em graus) e é a sua tangente. -
Graficamente, pontos
caem aproximadamente sobre uma reta vs cuja inclinação é e intercepto é . Podemos calcular (e então ) a partir da variação de e entre dois ensaios bem separados, para reduzir erro experimental. -
Para obter as tensões principais a partir dos valores medidos na superfície de ruptura, usamos a geometria do círculo de Mohr. A ideia prática que usaremos (e que vem da geometria da tangência do círculo de Mohr à reta de Mohr‑Coulomb) é:
- O centro do círculo de Mohr vale
e a tangência entre o círculo e a retano ponto (dados do ensaio) implica que a reta do raio até o ponto de tangência é perpendicular à reta de falha. Dessa condição segue (dedução na prática): e o raio éEntão as tensões principais são- A orientação entre o plano de ruptura e a direção de
pode ser obtida pela relação clássica (resultado padrão de Mohr‑Coulomb):
ondeé o ângulo entre a direção do maior esforço principal e o plano de ruptura (ou, dependendo da referência, o ângulo entre o plano de ruptura e a direção de será essa magnitude).
Passo 3
Cálculo de
e
a partir dos ensaios (escolhi os ensaios 1 e 3 porque estão mais afastados, reduzindo erro numérico):
- A inclinação da reta
versus é
- O ângulo de atrito é
- A coesão
obtida usando o ponto do ensaio 1 (poderia-se usar qualquer ponto):
- Usando todos os três pontos por regressão linear obtém‑se um intercepto ligeiramente diferente (
), então arredondando para um algarismo coerente com os dados experimentais obtemos (valores reportados experimentalmente costumam ser apresentados com esse arredondamento).
Passo 4
Cálculo das tensões principais para o ensaio 2 (
,
):
- Usamos
e calculamos primeiro o centro do círculo :
- O raio pode ser calculado por
. Calculando . Então
- As tensões principais são
Arredondando consistentemente com os dados experimentais, obtemos
e
. (Observe que, dependendo do arredondamento de
e
usados, valores reportados na literatura/questões podem aparecer como
e
; a diferença é pequena e vem de arredondamentos e do modo como se ajusta a reta de resistência.)
Passo 5
Direção dos planos principais (ângulo entre o plano de ruptura e a direção de
):
- A relação clássica dá
Com
,
Interpretando: o plano de ruptura (plano onde foi medida
e
) faz aproximadamente
em relação à direção do maior esforço principal
.
Resposta
Direção: ângulo entre o plano de ruptura e a direção de