Um ensaio de resistência do solo é feito utilizando um bate estacas que libera um peso de chumbo de 7.5 kN sobre uma estaca de 2 kN . O coeficiente de restituição é 0.2 . Determine o quanto a estaca deve penetrar no solo quando a resistência de 100 kN for atingida, sabendo que
. Assuma que a força de resistência à penetração é constante naquela profundidade, despreze a ação da gravidade na estaca e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Peso do bate-estacas (martelo):
. - Peso da estaca:
. - Coeficiente de restituição:
. - Altura de queda:
. - Resistência constante a ser atingida:
. -
. - Desprezar a ação da gravidade na estaca (ou seja, não considerar perda/ganho de energia potencial da estaca durante a penetração).
- Peso do bate-estacas (martelo):
-
O que o problema pede:
- Determinar a penetração
da estaca até que a força de resistência seja atingida, assumindo resistência constante nessa profundidade.
- Determinar a penetração
Passo 2
Primeiro converto os pesos (forças) em massas, usando
, porque na dinâmica precisamos das massas.
- Massa do martelo (bate-estacas)
:
- Massa da estaca
:
(Observação: apesar de o enunciado dizer para desprezar a ação da gravidade na estaca, isso significa não considerar o peso como força resistiva; a massa da estaca permanece para a dinâmica do impacto.)
Passo 3
Calculo a velocidade do martelo imediatamente antes do impacto, que vem da queda livre de altura
. Pela conservação da energia ou pela fórmula do MRUV:
Substituindo:
Explicação curta: a energia potencial
vira energia cinética
no instante do impacto (desprezando perdas durante a queda), daí a expressão acima.
Passo 4
Agora modelamos a colisão entre o martelo (massa
, velocidade
) e a estaca (massa
, inicialmente em repouso). Usamos duas equações: conservação do momento linear e a definição do coeficiente de restituição.
- Conservação do momento:
onde
é a velocidade do martelo após o choque e
a velocidade da estaca logo após o choque.
- Coeficiente de restituição
(definição): razão entre a velocidade de separação e a velocidade de aproximação:
Vamos eliminar
e achar
. Da conservação do momento:
Substituindo na definição de
:
Multiplicando por
e reorganizando:
Logo:
Esta fórmula é importante: dá a velocidade inicial da estaca após o impacto em função da velocidade de chegada do martelo e do coeficiente de restituição.
Passo 5
Substituo os números na fórmula de
.
- Primeiro simplifico a fração:
- Então:
Numericamente:
(Arredondei para três casas significativas; a fórmula exata é
.)
Passo 6
A energia cinética da estaca logo após o choque é a energia disponível para vencer a resistência do solo até que a estaca pare (já que desprezamos outras perdas e a ação da gravidade sobre a estaca). Assim, pela conservação de energia / teorema do trabalho e energia:
onde
é a penetração procurada e
é a força resistiva (constante).
Logo:
Passo 7
Faço os cálculos numéricos detalhados.
- Calculo
:
(Usei
.)
-
Convertendo
para newtons: . -
Portanto:
Convertendo para centímetros:
.
Passo 8
Interpretação e checagem rápida: a penetração é pequena (ordem de centímetros) porque a resistência é grande (
) e a energia do impacto, apesar de alta para uma pequena massa, é limitada pela altura de queda e pelo coeficiente de restituição (que reduz a transferência efetiva para a estaca). Os cálculos acima seguiram as leis de conservação do momento e definição de restituição, e depois a equivalência entre energia cinética e trabalho realizado contra a resistência constante.