Um ensaio de resistência do solo é feito utilizando um bate estacas que libera um peso de chumbo de 7.5 kN sobre uma estaca de 2 kN . O coeficiente de restituição é 0.2 . Determine o quanto a estaca deve penetrar no solo quando a resistência de 100 kN for atingida, sabendo que \mathrm{h}=1 \mathrm{~m}. Assuma que a força de resistência à penetração é constante naquela profundidade, despreze a ação da gravidade na estaca e \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Peso do bate-estacas (martelo): 7{,}5\\ \text{kN}.
    • Peso da estaca: 2{,}0\\ \text{kN}.
    • Coeficiente de restituição: e=0{,}2.
    • Altura de queda: h=1{,}0\\ \text{m}.
    • Resistência constante a ser atingida: R=100\\ \text{kN}.
    • g=10\\ \text{m/s}^2.
    • Desprezar a ação da gravidade na estaca (ou seja, não considerar perda/ganho de energia potencial da estaca durante a penetração).
  • O que o problema pede:
    • Determinar a penetração s da estaca até que a força de resistência R=100\\ \text{kN} seja atingida, assumindo resistência constante nessa profundidade.

Passo 2

Primeiro converto os pesos (forças) em massas, usando m=\dfrac{W}{g}, porque na dinâmica precisamos das massas.
  • Massa do martelo (bate-estacas) M:
M=\dfrac{7{,}5\\ \text{kN}}{10\\ \text{m/s}^2}=\dfrac{7500\\ \text{N}}{10\\ \text{m/s}^2}=750\\ \text{kg}.
  • Massa da estaca m:
m=\dfrac{2{,}0\\ \text{kN}}{10\\ \text{m/s}^2}=\dfrac{2000\\ \text{N}}{10\\ \text{m/s}^2}=200\\ \text{kg}.
(Observação: apesar de o enunciado dizer para desprezar a ação da gravidade na estaca, isso significa não considerar o peso como força resistiva; a massa da estaca permanece para a dinâmica do impacto.)

Passo 3

Calculo a velocidade do martelo imediatamente antes do impacto, que vem da queda livre de altura h. Pela conservação da energia ou pela fórmula do MRUV:
v_0=\sqrt{2 g h}.
Substituindo:
v_0=\sqrt{2\cdot 10\cdot 1}=\sqrt{20}\approx 4{,}472\\ \text{m/s}.
Explicação curta: a energia potencial M g h vira energia cinética \tfrac{1}{2}M v_0^2 no instante do impacto (desprezando perdas durante a queda), daí a expressão acima.

Passo 4

Agora modelamos a colisão entre o martelo (massa M, velocidade v_0) e a estaca (massa m, inicialmente em repouso). Usamos duas equações: conservação do momento linear e a definição do coeficiente de restituição.
  • Conservação do momento:
M v_0 = M v_h' + m v_p',
onde v_h' é a velocidade do martelo após o choque e v_p' a velocidade da estaca logo após o choque.
  • Coeficiente de restituição e (definição): razão entre a velocidade de separação e a velocidade de aproximação:
e=\dfrac{v_p' - v_h'}{v_0}.
Vamos eliminar v_h' e achar v_p'. Da conservação do momento:
v_h'=\dfrac{M v_0 - m v_p'}{M}.
Substituindo na definição de e:
v_p' - \dfrac{M v_0 - m v_p'}{M} = e v_0.
Multiplicando por M e reorganizando:
M v_p' - M v_0 + m v_p' = e M v_0,
v_p'(M + m) = v_0(M + e M) = v_0 M (1+e).
Logo:
v_p' = v_0\cdot \dfrac{M(1+e)}{M+m}.
Esta fórmula é importante: dá a velocidade inicial da estaca após o impacto em função da velocidade de chegada do martelo e do coeficiente de restituição.

Passo 5

Substituo os números na fórmula de v_p'.
  • Primeiro simplifico a fração:
\dfrac{M(1+e)}{M+m}=\dfrac{750(1+0{,}2)}{750+200}=\dfrac{750\cdot 1{,}2}{950}=\dfrac{900}{950}=\dfrac{18}{19}\approx 0{,}947368\ldots
  • Então:
v_p' = v_0\cdot \dfrac{18}{19} = \sqrt{20}\cdot \dfrac{18}{19}.
Numericamente:
v_p'\approx 4{,}472\cdot 0{,}947368\approx 4{,}237\\ \text{m/s}.
(Arredondei para três casas significativas; a fórmula exata é v_p'=\dfrac{18}{19}\sqrt{20}.)

Passo 6

A energia cinética da estaca logo após o choque é a energia disponível para vencer a resistência do solo até que a estaca pare (já que desprezamos outras perdas e a ação da gravidade sobre a estaca). Assim, pela conservação de energia / teorema do trabalho e energia:
\text{Energia disponível} = \tfrac{1}{2} m v_p'^2 = R \, s,í
onde s é a penetração procurada e R é a força resistiva (constante).
Logo:
s = \dfrac{\tfrac{1}{2} m v_p'^2}{R}.

Passo 7

Faço os cálculos numéricos detalhados.
  • Calculo \tfrac{1}{2} m v_p'^2:
\tfrac{1}{2} m v_p'^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 200\cdot (4{,}237)^2 =100\cdot 17{,}94\approx 1794\\ \text{J}.
(Usei v_p'^2\approx 17{,}94.)
  • Convertendo R para newtons: R=100\\ \text{kN}=100\,000\\ \text{N}.
  • Portanto:
s=\dfrac{1794}{100\,000}\\ \text{m}\approx 0{,}01794\\ \text{m}.
Convertendo para centímetros: s\approx 1{,}794\\ \text{cm}.

Passo 8

Interpretação e checagem rápida: a penetração é pequena (ordem de centímetros) porque a resistência é grande ( 100\\ \text{kN}) e a energia do impacto, apesar de alta para uma pequena massa, é limitada pela altura de queda e pelo coeficiente de restituição (que reduz a transferência efetiva para a estaca). Os cálculos acima seguiram as leis de conservação do momento e definição de restituição, e depois a equivalência entre energia cinética e trabalho realizado contra a resistência constante.

Resposta

0{,}01794\\ \text{m}\\ (\approx 1{,}79\\ \text{cm})

Exercícios relacionados