O cilindro 1 (massa m) se move com velocidade
atinge o cilindro 2 (massa 2 m ) que está em repouso. A força de impacto varia no tempo conforme ilustrado no gráfico, para os períodos de deformação (
) e restauração (
). Assuma que o gráfico da força é triangular.
Determine a velocidade da massa 2 após o impacto (
) em termos de
, para:
.
Determine a velocidade da massa 2 após o impacto (
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar claramente o que é conhecido e o que se pede):
- Massa do cilindro 1:
. - Massa do cilindro 2:
. - Velocidade inicial do cilindro 1:
. - Velocidade inicial do cilindro 2:
. - A força de impacto varia no tempo com um perfil triangular durante dois intervalos: deformação (duração
) e restauração (duração ). Foi dada a condição . - O que se pede: determinar a velocidade final do cilindro 2 após o impacto, isto é
, em termos de .
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicação didática): conservação do momento linear do sistema durante o impacto.
- Ideia física: durante o impacto as forças internas entre os corpos podem ser grandes, mas se desprezarmos impulsos externos (p.ex. atrito com o chão muito pequeno durante o curto tempo do choque), o momento total do sistema de duas massas é preservado.
- Fórmula da conservação do momento: a soma dos momentos iniciais iguala a soma dos momentos finais. Escrevendo com as variáveis do problema:
Aqui:
-
é o momento inicial do cilindro 1; -
é o momento inicial do cilindro 2 (está em repouso); -
e são os momentos finais dos dois cilindros.
Passo 3
Conceito de impulso e como ele se relaciona às mudanças de velocidade (aula curta):
- Impulso
é definido por e tem a mesma dimensão que momento linear. - Para cada corpo, a variação de momento é igual ao impulso resultante que age sobre ele:
- No choque temos, em geral, dois impulsos parciais: o impulso de compressão
e o impulso de restauração . O impulso total sobre cada corpo (no intervalo inteiro do choque) é (sinal dependendo de como se define). - Observação sobre o perfil triangular: o formato triangular apenas determina como
e se distribuem, mas as conclusões seguintes vêm da hipótese .
Passo 4
Interpretação física de
e consequência sobre as velocidades finais:
-
significa que não há fase de restauração do choque: depois da compressão a força cai imediatamente a zero, sem gerar impulso de descarga que separe os corpos. Em termos práticos isso corresponde a não haver impulso de restituição (ou seja, ). - Consequência dinâmica importante: ao final do choque relativo, os corpos ficam com a mesma velocidade (não há “rebote” relativo). Em outras palavras:
Explicação intuitiva: se não há impulso de restauração que indique separação, a deformação final leva a uma situação onde as superfícies ficam em contato sem velocidade relativa — os corpos movem-se juntos após o choque.
Passo 5
Usar a conservação do momento junto com a condição de velocidade comum para resolver:
- Substituir
na equação de conservação do momento do Passo 2:
- Somar os termos do lado direito:
- Isolar
:
- Como
, segue que
Passo 6
Cheque rápido e comentário motivador:
- Verificação dimensional: ambos os lados têm dimensão de velocidade — ok.
- Interpretação física: a massa maior (2m) faz com que a velocidade final comum seja menor que
; dividir por 3 vem de somar as massas . - Você conseguiu! Mesmo com o formato triangular da força, a hipótese
simplifica o problema porque força de restauração nula implica choque totalmente inelástico (os corpos seguem juntos).