O cilindro 1 (massa m) se move com velocidade \mathrm{v}_{1} \mathrm{e} atinge o cilindro 2 (massa 2 m ) que está em repouso. A força de impacto varia no tempo conforme ilustrado no gráfico, para os períodos de deformação ( \mathrm{t}_{\mathrm{d}} ) e restauração ( \mathrm{t}_{\mathrm{r}} ). Assuma que o gráfico da força é triangular.
Determine a velocidade da massa 2 após o impacto ( \mathrm{v}_{2}{ }^{\prime} ) em termos de \mathrm{v}_{1}, para: t_{\mathrm{r}}=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar claramente o que é conhecido e o que se pede):
  • Massa do cilindro 1: m.
  • Massa do cilindro 2: 2m.
  • Velocidade inicial do cilindro 1: v_1.
  • Velocidade inicial do cilindro 2: 0.
  • A força de impacto varia no tempo com um perfil triangular durante dois intervalos: deformação (duração t_{\mathrm{d}}) e restauração (duração t_{\mathrm{r}}). Foi dada a condição t_{\mathrm{r}}=0.
  • O que se pede: determinar a velocidade final do cilindro 2 após o impacto, isto é v_2', em termos de v_1.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicação didática): conservação do momento linear do sistema durante o impacto.
  • Ideia física: durante o impacto as forças internas entre os corpos podem ser grandes, mas se desprezarmos impulsos externos (p.ex. atrito com o chão muito pequeno durante o curto tempo do choque), o momento total do sistema de duas massas é preservado.
  • Fórmula da conservação do momento: a soma dos momentos iniciais iguala a soma dos momentos finais. Escrevendo com as variáveis do problema:
m v_1 + 2m\cdot 0 = m v_1' + 2m v_2'.
Aqui:
  • m v_1 é o momento inicial do cilindro 1;
  • 2m\cdot 0 é o momento inicial do cilindro 2 (está em repouso);
  • m v_1' e 2m v_2' são os momentos finais dos dois cilindros.

Passo 3

Conceito de impulso e como ele se relaciona às mudanças de velocidade (aula curta):
  • Impulso J é definido por J=\displaystyle\int F(t)\,dt e tem a mesma dimensão que momento linear.
  • Para cada corpo, a variação de momento é igual ao impulso resultante que age sobre ele:
\Delta p = p_{\text{final}}-p_{\text{inicial}} = J.
  • No choque temos, em geral, dois impulsos parciais: o impulso de compressão J_{\mathrm{c}}=\int_{0}^{t_{\mathrm{d}}}F(t)\,dt e o impulso de restauração J_{\mathrm{r}}=\int_{t_{\mathrm{d}}}^{t_{\mathrm{d}}+t_{\mathrm{r}}}F(t)\,dt. O impulso total sobre cada corpo (no intervalo inteiro do choque) é J_{\mathrm{tot}}=J_{\mathrm{c}}-J_{\mathrm{r}} (sinal dependendo de como se define).
  • Observação sobre o perfil triangular: o formato triangular apenas determina como J_{\mathrm{c}} e J_{\mathrm{r}} se distribuem, mas as conclusões seguintes vêm da hipótese t_{\mathrm{r}}=0.

Passo 4

Interpretação física de t_{\mathrm{r}}=0 e consequência sobre as velocidades finais:
  • t_{\mathrm{r}}=0 significa que não há fase de restauração do choque: depois da compressão a força cai imediatamente a zero, sem gerar impulso de descarga que separe os corpos. Em termos práticos isso corresponde a não haver impulso de restituição (ou seja, J_{\mathrm{r}}=0).
  • Consequência dinâmica importante: ao final do choque relativo, os corpos ficam com a mesma velocidade (não há “rebote” relativo). Em outras palavras:
v_1' = v_2' \equiv v'.
Explicação intuitiva: se não há impulso de restauração que indique separação, a deformação final leva a uma situação onde as superfícies ficam em contato sem velocidade relativa — os corpos movem-se juntos após o choque.

Passo 5

Usar a conservação do momento junto com a condição de velocidade comum para resolver:
  • Substituir v_1'=v_2'=v' na equação de conservação do momento do Passo 2:
m v_1 = m v' + 2m v'.
  • Somar os termos do lado direito:
m v_1 = 3m v'.
  • Isolar v':
v' = \frac{m v_1}{3m} = \frac{v_1}{3}.
  • Como v_2' = v', segue que
v_2' = \frac{v_1}{3}.

Passo 6

Cheque rápido e comentário motivador:
  • Verificação dimensional: ambos os lados têm dimensão de velocidade — ok.
  • Interpretação física: a massa maior (2m) faz com que a velocidade final comum seja menor que v_1; dividir por 3 vem de somar as massas m+2m.
  • Você conseguiu! Mesmo com o formato triangular da força, a hipótese t_{\mathrm{r}}=0 simplifica o problema porque força de restauração nula implica choque totalmente inelástico (os corpos seguem juntos).

Resposta

v_2'=\frac{v_1}{3}

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