Se
, entāo
, enquanto que, se
, então
.
Passo 1
O enunciado dá uma desigualdade sobre um número real
e pede que se mostre duas implicações:
- Se
, então provar que . - Se
, então provar que .
Informações relevantes fornecidas:
- Em ambos os casos
é um número real e não é igual a nem a (pois as desigualdades são estritas). - Precisa-se comparar
com usando as propriedades das desigualdades e sinais.
Passo 2
Relembrando uma propriedade fundamental de desigualdades que vamos usar: se
e
, então ao multiplicar ambos os lados por
a desigualdade é preservada, isto é
. Isso porque multiplicar por um número positivo não inverte a ordem. Também usaremos a fatoração:
cujo sinal é determinado pelo sinal de
e de
.
Passo 3
Caso
. Como
, podemos multiplicar a desigualdade
por
sem inverter o sentido. Multiplicando termo a termo obtemos:
ou seja
Como já tínhamos
do enunciado, juntando obtemos
Outra forma de ver o mesmo resultado é observar a fatoração
. Quando
tem-se
e
, logo
, o que implica
e portanto
. Isso confirma a desigualdade estrita entre
e
. Um exemplo numérico para intuir: se
então
e
.
Passo 4
Caso
. Agora
. Multiplicando a desigualdade
por
(novamente sem inverter o sentido) obtemos:
ou seja
Juntando com
do enunciado resulta
Usando a fatoração novamente:
. Para
ambos
e
são positivos, então
, logo
e
, consistente com o que mostramos. Exemplo numérico: se
então
e
.
Passo 5
Comentário final de completude: nos casos limítrofes
e
as desigualdades estritas do enunciado não se aplicam, e de fato
dá
e
dá
. Como o enunciado assumiu
ou
, as desigualdades estritas que provamos estão corretas nesses intervalos.
Resposta
Se
então
.
Se então
.
Se