Se 0<a<1, entāo 0<a^{2}<a<1, enquanto que, se 1<a, então 1<a<a^{2}.

Passo 1

O enunciado dá uma desigualdade sobre um número real a e pede que se mostre duas implicações:
  • Se 0<a<1, então provar que 0<a^{2}<a<1.
  • Se 1<a, então provar que 1<a<a^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Em ambos os casos a é um número real e não é igual a 0 nem a 1 (pois as desigualdades são estritas).
  • Precisa-se comparar a com a^{2} usando as propriedades das desigualdades e sinais.

Passo 2

Relembrando uma propriedade fundamental de desigualdades que vamos usar: se x<y e b>0, então ao multiplicar ambos os lados por b a desigualdade é preservada, isto é bx<by. Isso porque multiplicar por um número positivo não inverte a ordem. Também usaremos a fatoração:
a^{2}-a=a(a-1),
cujo sinal é determinado pelo sinal de a e de a-1.

Passo 3

Caso 0<a<1. Como a>0, podemos multiplicar a desigualdade 0<a<1 por a sem inverter o sentido. Multiplicando termo a termo obtemos:
0\cdot a < a\cdot a < 1\cdot a,
ou seja
0<a^{2}<a.
Como já tínhamos a<1 do enunciado, juntando obtemos
0<a^{2}<a<1.
Outra forma de ver o mesmo resultado é observar a fatoração \,a^{2}-a=a(a-1)\,. Quando 0<a<1 tem-se a>0 e a-1<0, logo a(a-1)<0, o que implica a^{2}-a<0 e portanto a^{2}<a. Isso confirma a desigualdade estrita entre a^{2} e a. Um exemplo numérico para intuir: se a=\tfrac{1}{2} então a^{2}=\tfrac{1}{4} e \tfrac{1}{4}<\tfrac{1}{2}<1.

Passo 4

Caso 1<a. Agora a>1>0. Multiplicando a desigualdade 1<a por a>0 (novamente sem inverter o sentido) obtemos:
1\cdot a < a\cdot a,
ou seja
a<a^{2}.
Juntando com 1<a do enunciado resulta
1<a<a^{2}.
Usando a fatoração novamente: \,a^{2}-a=a(a-1)\,. Para a>1 ambos a e a-1 são positivos, então a(a-1)>0, logo a^{2}-a>0 e a^{2}>a, consistente com o que mostramos. Exemplo numérico: se a=2 então a^{2}=4 e 1<2<4.

Passo 5

Comentário final de completude: nos casos limítrofes a=0 e a=1 as desigualdades estritas do enunciado não se aplicam, e de fato a=0 a^{2}=0 e a=1 a^{2}=1. Como o enunciado assumiu 0<a<1 ou 1<a, as desigualdades estritas que provamos estão corretas nesses intervalos.

Resposta

Se 0<a<1 então 0<a^{2}<a<1.
Se 1<a então 1<a<a^{2}.

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