Resolva os problemas de valor inicial a seguir:
y^{\prime}=-\frac{2}{t} y+\frac{y^{3}}{t^{3}}\, com \(y(1)=\frac{\sqrt{3}}{2}.)

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial abaixo e pede a solução y(t) que satisfaz a condição inicial:
  • Equação diferencial: y' = -\frac{2}{t}\,y + \frac{y^{3}}{t^{3}}.
  • Condição inicial: y(1)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Observações extraídas do enunciado (importantes na resolução): t não pode ser 0 porque aparecem \dfrac{1}{t} e \dfrac{1}{t^{3}}. A solução será buscada para t\neq0.

Passo 2

Vamos colocar a equação em forma padrão de primeira ordem para identificar um método: escrevemos a equação isolando y' de modo a obter algo do tipo y'+P(t)y=Q(t)y^{n}. Aqui temos
y' + \frac{2}{t}\,y = \frac{1}{t^{3}}\,y^{3}.
Portanto é uma equação do tipo “Bernoulli” com expoente n=3. A estratégia padrão para uma Bernoulli é fazer a substituição \;u=y^{1-n}\; para transformar a equação numa equação linear em u. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Escolhemos a substituição adequada para n=3:
u = y^{1-3} = y^{-2}.
Agora vamos calcular u' em termos de y e y', para poder substituir a equação original.

Passo 4

Derivando u=y^{-2} em relação a t usando a regra da cadeia:
u' = \frac{d}{dt}\bigl(y^{-2}\bigr) = -2\,y^{-3}\,y'.
Agora substituímos y' usando a equação original escrita em forma padrão:
y' = -\frac{2}{t}\,y + \frac{1}{t^{3}}\,y^{3}.
Logo,
y^{-3}y' = y^{-3}\!\left(-\frac{2}{t}\,y + \frac{1}{t^{3}}\,y^{3}\right) = -\frac{2}{t}\,y^{-2} + \frac{1}{t^{3}}.
Multiplicando por -2 (pois u'=-2y^{-3}y') obtemos:
u' = -2\!\left(-\frac{2}{t}\,y^{-2} + \frac{1}{t^{3}}\right) = \frac{4}{t}\,y^{-2} - \frac{2}{t^{3}}.
Como y^{-2}=u, isso simplifica para a equação linear em u:
u' - \frac{4}{t}\,u = -\frac{2}{t^{3}}.

Passo 5

Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
u' - \frac{4}{t}\,u = -\frac{2}{t^{3}}.
Recordando o método do fator integrante: para uma equação u' + a(t)u = b(t) o fator integrante é \mu(t)=\exp\!\bigl(\int a(t)\,dt\bigr). Aqui a(t)=-\dfrac{4}{t}, então
\mu(t)=\exp\!\left(\int -\frac{4}{t}\,dt\right) = \exp(-4\ln|t|)=|t|^{-4}.
Como estamos em intervalo onde t\neq0, podemos trabalhar com t^{-4} (escolhendo o sinal consistente do intervalo). Multiplicando a equação por t^{-4} temos que o lado esquerdo vira derivada do produto:
\bigl(t^{-4}u\bigr)' = t^{-4}\!\left(-\frac{2}{t^{3}}\right) = -2\,t^{-7}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a t:
t^{-4}u = \int -2\,t^{-7}\,dt = -2\cdot\frac{t^{-6}}{-6} + C = \frac{1}{3}\,t^{-6} + C,
onde C é constante de integração. Agora isolamos u:
u = \frac{1}{3}\,t^{-6}\cdot t^{4} + C\,t^{4} = \frac{1}{3}\,t^{-2} + C\,t^{4}.

Passo 7

Lembremos que u=y^{-2}. Então
y^{-2} = \frac{1}{3}\,t^{-2} + C\,t^{4}.
Invertendo (tomando recíproco e raiz positiva/negativa conforme o sinal de y) obteremos y. Antes, usemos a condição inicial para determinar C. Da condição y(1)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} segue
y^{-2}(1) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2} = \frac{4}{3}.
Substituindo t=1 em y^{-2}=\dfrac{1}{3}t^{-2}+Ct^{4}
\frac{1}{3} + C = \frac{4}{3} \quad\Rightarrow\quad C = 1.

Passo 8

Com C=1 a expressão para y^{-2} fica
y^{-2} = \frac{1}{3}\,t^{-2} + t^{4}.
Para escrever y explicitamente, invertemos e tomamos raiz. Primeiro simplificamos a expressão para ficar mais bonita:
y^{-2} = \frac{1}{3}\,t^{-2} + t^{4} = \frac{1 + 3t^{6}}{3t^{2}}.
Assim
y^{2} = \frac{3t^{2}}{1 + 3t^{6}}.
Como a condição inicial dá y(1)>0, tomamos a raiz positiva:
y(t) = \sqrt{\frac{3t^{2}}{1+3t^{6}}}.

Passo 9

Podemos também apresentar a solução de outra forma equivalente, retirando o t de dentro da raiz:
y(t) = \frac{\sqrt{3}\,t}{\sqrt{1+3t^{6}}}.
Essa é a solução do problema de valor inicial para t\neq0 (no ramo em que y é positiva, consistente com a condição inicial).

Resposta

y(t)=\sqrt{\frac{3t^{2}}{1+3t^{6}}}=\frac{\sqrt{3}\,t}{\sqrt{1+3t^{6}}}

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