Resolva os problemas de valor inicial a seguir:
.)
.)
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial abaixo e pede a solução
que satisfaz a condição inicial:
- Equação diferencial:
- Condição inicial:
Observações extraídas do enunciado (importantes na resolução):
não pode ser
porque aparecem
e
. A solução será buscada para
.
Passo 2
Vamos colocar a equação em forma padrão de primeira ordem para identificar um método: escrevemos a equação isolando
de modo a obter algo do tipo
. Aqui temos
Portanto é uma equação do tipo “Bernoulli” com expoente
. A estratégia padrão para uma Bernoulli é fazer a substituição
para transformar a equação numa equação linear em
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Escolhemos a substituição adequada para
:
Agora vamos calcular
em termos de
e
, para poder substituir a equação original.
Passo 4
Derivando
em relação a
usando a regra da cadeia:
Agora substituímos
usando a equação original escrita em forma padrão:
Logo,
Multiplicando por
(pois
) obtemos:
Como
, isso simplifica para a equação linear em
:
Passo 5
Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
Recordando o método do fator integrante: para uma equação
o fator integrante é
. Aqui
, então
Como estamos em intervalo onde
, podemos trabalhar com
(escolhendo o sinal consistente do intervalo). Multiplicando a equação por
temos que o lado esquerdo vira derivada do produto:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Agora isolamos
:
Passo 7
Lembremos que
. Então
Invertendo (tomando recíproco e raiz positiva/negativa conforme o sinal de
) obteremos
. Antes, usemos a condição inicial para determinar
. Da condição
segue
Substituindo
em
dá
Passo 8
Com
a expressão para
fica
Para escrever
explicitamente, invertemos e tomamos raiz. Primeiro simplificamos a expressão para ficar mais bonita:
Assim
Como a condição inicial dá
, tomamos a raiz positiva:
Passo 9
Podemos também apresentar a solução de outra forma equivalente, retirando o
de dentro da raiz:
Essa é a solução do problema de valor inicial para
(no ramo em que
é positiva, consistente com a condição inicial).