O que se entende por raio crítico no processo de nucleação?

Passo 1

Beleza, o exercício pergunta “O que se entende por raio crítico no processo de nucleação?”. Isso cai em Termodinâmica/Físico-química de materiais, onde a gente estuda como pequenas gotículas (ou núcleos) de uma nova fase aparecem e crescem. Para resolver, vamos precisar:
  • Entender a energia livre total ΔG® de formar um núcleo de raio r.
  • Saber que ΔG® tem duas partes: o ganho de energia de volume (favorável) e o custo de energia de superfície (desfavorável).
  • Calcular onde ΔG® é máxima (derivada igual a zero) para achar o raio crítico r_c.

Passo 2

Primeiro, o que é ΔG®? Quando um núcleo de raio r se forma:
  1. Ele “ganha” energia porque transformar volume do material na nova fase libera energia livre: ΔG_vol = (4/3)πr³·Δg_v, onde Δg_v (ou ΔG_v) é a variação de energia livre por unidade de volume (usualmente negativa para nucleação espontânea).
  2. Ele “gasta” energia para criar superfície: ΔG_sup = 4πr²·γ, onde γ é a tensão superficial entre as fases (sempre positiva).
    Logo, a energia livre total é
De
Repara que Δg_v < 0 (ou seja, a parte volumétrica diminui a energia), mas a parte de superfície sempre aumenta.

Passo 3

O que a gente faz pra achar o raio crítico? O raio crítico r_c é o ponto em que formar um núcleo um pouquinho maior já faz a ΔG total diminuir (ou seja, a barreira de nucleação é superada). Matematicamente, é o valor de r onde ΔG® é máxima. Então:
  1. Derivamos ΔG® em relação a r:
dDe
  1. Calculando:
dDe
  1. Colocamos essa derivada igual a zero para achar o extremo:
4pi r^2,De

Passo 4

Agora isola r:
4pi r^2,De
Como Δg_v é negativo, r resulta positivo. Esse é o nosso raio crítico, que chamamos de .

Passo 5

O que esse raio crítico significa na prática?
  • Se um núcleo nasce com , a parte de superfície “custa” mais energia do que o volume “paga”, então ele tende a encolher e sumir.
  • Se ele já nasce ou cresce até , aí o ganho volumétrico supera o gasto de superfície e o núcleo cresce sozinho até virar a fase macroscópica.

Resposta

O raio crítico rc ;=; -,2,gammaDe é o tamanho exato do núcleo em que a energia livre total atinge o máximo.
Matematicamente,
e fisicamente ele separa núcleos instáveis ( ) que se desmancham daqueles estáveis ( ) que crescem espontaneamente.

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