O que se entende por sistemas zero, de primeira e de segunda ordem?

Passo 1

Beleza, aqui a questão pede pra gente explicar o que é um sistema de ordem zero, de primeira ordem e de segunda ordem. Isso cai em Teoria de Sistemas Lineares e Controle. Pra resolver, vamos usar conceitos de equação diferencial, transformada de Laplace e função de transferência. Vou resumir o enunciado e falar o que precisamos:
  • Enunciado: Definir sistemas de ordem 0, 1 e 2.
  • Conteúdo: Função de transferência, ordens de sistemas, parâmetros como constante de tempo, frequência natural e fator de amortecimento.
  • O que precisamos: saber que a ordem vem da maior derivada na equação diferencial e que a função de transferência em traduz isso em pólos e zeros.

Passo 2

Pra começar, o que é “ordem” de sistema?
  • A ordem é o maior grau da derivada na equação diferencial que descreve o sistema.
  • Quando a gente passa pra domínio de Laplace, isso vira um polinômio em .
  • Se a maior potência de no denominador da função de transferência for , chamamos de sistema de ordem .

Passo 3

Sistema de ordem zero:
  • Aqui não tem derivada de saída na equação, é tipo uma relação fixa: y(t) = K ,u(t)
  • Em Laplace, a função de transferência é só constante: G(s) = Y(s)U(s) = K
  • Não tem dinâmica interna nem atraso – se você muda a entrada, a saída muda instantaneamente e na mesma proporção .

Passo 4

Sistema de primeira ordem:
  • Agora aparece uma derivada de primeira ordem: tau ,dy(t)dt + y(t) = K,u(t) onde G(s) = Y(s)U(s) = Ktau s + 1 é a constante de tempo e y(t) = Kl(1 - e^-t/taur) é o ganho.
  • Em Laplace:
  • Teoria aplicada: a constante de tempo indica a velocidade de resposta. Na resposta ao degrau unitário, : Depois de cerca de , o sistema já está bem pertinho de .

Passo 5

Sistema de segunda ordem:
  • A equação diferencial contém até segunda derivada: d^2y(t)dt^2 + 2zetaomegan,dy(t)dt + omegan^2,y(t) = omegan^2,u(t) Aqui G(s) = Y(s)U(s) = omegan^2s^2 + 2zetaomegan,s + omegan^2 é a frequência natural e é o fator de amortecimento.
  • Função de transferência em :
  • Teoria aplicada:
    • Se , resposta subamortecida (oscilas antes de estabilizar).
    • Se , criticamente amortecido (chega rápido sem oscilar).
    • Se , sobreamortecido (sem oscilar, mas mais lento).

Resposta

  • Sistema de ordem zero: , sem dinâmica, saída muda instantaneamente.
  • Sistema de primeira ordem: , tem constante de tempo e comportamento exponencial.
  • Sistema de segunda ordem: , definido por frequência natural e amortecimento .

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