Entrada:
Premissas: P -> Q, Q -> R, P
Conclusão: R
Saída - Árvore de Prova:
  1. P -> Q [Premissa]
  2. Q -> R [Premissa]
  3. P [Premissa]
  4. Q [Modus Ponens: 3, 1]
  5. R [Modus Ponens: 4, 2]
    v Q.E.D.

Passo 1

O enunciado nos dá explicitamente as premissas e a conclusão que queremos obter. Vou listar tudo com clareza (peguei diretamente da entrada):
  • Premissas:
    1. P \to Q
    2. Q \to R
    3. P
  • Conclusão desejada:
    • R
Portanto o objetivo é mostrar passo a passo como, a partir das premissas P \to Q, Q \to R e P, chegamos a R.

Passo 2

Explicando a regra que vamos usar: Modus Ponens. Ela é a regra padrão de inferência que diz que, se sabemos que A \to B e sabemos A, então podemos concluir B. Em forma simbólica:
\frac{A \to B,\quad A}{B}\qquad(\text{Modus Ponens})
O que isso significa em palavras: “se de A segue B, e A é verdadeiro, então B também é verdadeiro”. Essa regra é válida porque a única situação em que A\to B é verdadeira e A é verdadeira ao mesmo tempo é quando B também é verdadeira — assim não há contradição.

Passo 3

Aplicação direta de Modus Ponens para obter Q.
Temos as premissas:
  • P \to Q (linha 1)
  • P (linha 3)
Tomando A := P e B := Q na forma geral da regra, temos exatamente o caso:
\frac{P \to Q,\quad P}{Q}
Logo podemos inferir Q. Escrevendo como passo da prova:
4. Q [Modus Ponens: 3, 1]

Passo 4

Agora aplicamos Modus Ponens de novo para obter R.
Temos:
  • Q \to R (linha 2)
  • Q (linha 4, que já deduzimos)
Tomando A := Q e B := R na regra geral:
\frac{Q \to R,\quad Q}{R}
Portanto podemos inferir R. Escrevendo como passo da prova:
5. R [Modus Ponens: 4, 2]

Passo 5

Verificação rápida de correção e significado: cada aplicação de Modus Ponens foi legítima porque, em ambos os casos, havia um condicional (algo do tipo X\to Y) e a afirmação do antecedente X. A regra garante que o consequente Y segue logicamente. Assim chegamos à conclusão R de forma correta e válida a partir das premissas dadas. Força — você já tem a estrutura que aparece frequentemente em provas: encadear implicações com Modus Ponens.

Resposta

  1. P \to Q [Premissa]
  2. Q \to R [Premissa]
  3. P [Premissa]
  4. Q [Modus Ponens: 3, 1]
  5. R [Modus Ponens: 4, 2]
    v Q.E.D.

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