P -> Q, P |- Q (VÁLIDO)
Passo 1
O enunciado nos dá duas premissas e pede verificar se a conclusão segue delas. As informações dadas são:
- Premissa 1:
. - Premissa 2:
.
O que se pede: mostrar que a conclusão
pode ser inferida a partir dessas premissas (ou seja, verificar se o sequente
é válido).
Passo 2
Entender o que significa a fórmula
. Vou mostrar a tabela-verdade dessa implicação para visualizar todos os casos possíveis de verdade de
e
:
Interpretação breve da tabela:
é falsa só no caso em que
é verdadeira e
falsa; nos outros três casos ela é verdadeira.
Passo 3
Agora analiso quando as duas premissas
e
são simultaneamente verdadeiras. Observando a tabela do passo anterior, as colunas relevantes são as de
e
. As linhas onde
é verdadeira são as duas primeiras. Dessas:
- Na primeira linha (
), temos e . Aqui a conclusão também é . - Na segunda linha (
), temos e . Aqui uma das premissas ( ) é falsa, logo não interessa porque queremos os casos em que ambas premissas são verdadeiras.
Conclusão dessa observação semântica: não existe nenhum valuation (atribuição de verdade a
e
) em que ambas premissas sejam verdadeiras e
seja falsa. Portanto, semanticamente, sempre que
e
são verdadeiros,
também é verdadeiro.
Passo 4
Explicar a forma de inferência usada — Modus Ponens — e aplicá‑la passo a passo. Regra (Modus Ponens): se se tem
e também se tem
, então pode-se inferir
. Em notação de prova:
-
(premissa) -
(premissa) -
(de 1 e 2 por Modus Ponens)
Explicação didática: a implicação diz "se
então
". Ter a afirmação
é precisamente a condição necessária para usar a implicação e obter
. É uma regra de inferência direta, aceita em qualquer sistema lógico clássico e é também correta segundo a semântica (ver passo 3).
Passo 5
Um exemplo concreto para fixar: tome
= “está chovendo” e
= “o chão está molhado”. A premissa
é a regra geral “se está chovendo então o chão está molhado”. A premissa
diz “está chovendo” agora. Juntando as duas, é natural concluir
: “o chão está molhado”. Isso mostra intuitivamente por que a inferência é válida na prática.
Passo 6
Resumo da justificativa: semanticamente (tabela-verdade) não existe valoração que torne verdadeiras ambas as premissas e falsa a conclusão; sintaticamente existe uma prova curta usando Modus Ponens que deriva
a partir de
e
. Portanto o sequente é válido.
Resposta
VÁLIDO