P -> Q, P |- Q (VÁLIDO)

Passo 1

O enunciado nos dá duas premissas e pede verificar se a conclusão segue delas. As informações dadas são:
  • Premissa 1: P \rightarrow Q.
  • Premissa 2: P.
O que se pede: mostrar que a conclusão Q pode ser inferida a partir dessas premissas (ou seja, verificar se o sequente P \rightarrow Q,\; P \vdash Q é válido).

Passo 2

Entender o que significa a fórmula \,P \rightarrow Q\,. Vou mostrar a tabela-verdade dessa implicação para visualizar todos os casos possíveis de verdade de P e Q:
\begin{array}{c c \;|\; c \;|\; c} P & Q & P\rightarrow Q & P \\\ \hline T & T & T & T \\\ T & F & F & T \\\ F & T & T & F \\\ F & F & T & F \end{array}
Interpretação breve da tabela: \,P\rightarrow Q\, é falsa só no caso em que P é verdadeira e Q falsa; nos outros três casos ela é verdadeira.

Passo 3

Agora analiso quando as duas premissas P\rightarrow Q e P são simultaneamente verdadeiras. Observando a tabela do passo anterior, as colunas relevantes são as de P\rightarrow Q e P. As linhas onde P é verdadeira são as duas primeiras. Dessas:
  • Na primeira linha ( P=T,\;Q=T), temos P\rightarrow Q = T e P = T. Aqui a conclusão Q também é T.
  • Na segunda linha ( P=T,\;Q=F), temos P\rightarrow Q = F e P = T. Aqui uma das premissas ( P\rightarrow Q) é falsa, logo não interessa porque queremos os casos em que ambas premissas são verdadeiras.
Conclusão dessa observação semântica: não existe nenhum valuation (atribuição de verdade a P e Q) em que ambas premissas sejam verdadeiras e Q seja falsa. Portanto, semanticamente, sempre que P\rightarrow Q e P são verdadeiros, Q também é verdadeiro.

Passo 4

Explicar a forma de inferência usada — Modus Ponens — e aplicá‑la passo a passo. Regra (Modus Ponens): se se tem A\rightarrow B e também se tem A, então pode-se inferir B. Em notação de prova:
  1. P \rightarrow Q (premissa)
  2. P (premissa)
  3. Q (de 1 e 2 por Modus Ponens)
Explicação didática: a implicação diz "se P então Q". Ter a afirmação P é precisamente a condição necessária para usar a implicação e obter Q. É uma regra de inferência direta, aceita em qualquer sistema lógico clássico e é também correta segundo a semântica (ver passo 3).

Passo 5

Um exemplo concreto para fixar: tome P = “está chovendo” e Q = “o chão está molhado”. A premissa P\rightarrow Q é a regra geral “se está chovendo então o chão está molhado”. A premissa P diz “está chovendo” agora. Juntando as duas, é natural concluir Q: “o chão está molhado”. Isso mostra intuitivamente por que a inferência é válida na prática.

Passo 6

Resumo da justificativa: semanticamente (tabela-verdade) não existe valoração que torne verdadeiras ambas as premissas e falsa a conclusão; sintaticamente existe uma prova curta usando Modus Ponens que deriva Q a partir de P\rightarrow Q e P. Portanto o sequente é válido.

Resposta

VÁLIDO

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