(3.0) Se a entrada de um sistema discreto for o \operatorname{sinal} x[n]=[1,2,3,3,2,2,1] e sua resposta for sinal y[n]= [ 1,5,11,16,17,14,11,7,2 ], responda:
a) Qual seria a resposta ao impulso h(n) deste sistema?
b) Qual seria a função de transferência H(z) deste sistema? H(z) é um sistema FIR ou IIR?
c) Qual a resposta deste sistema ao sinal de entrada x[n]=2 n+1; para 0 \leq n \leq 3

Passo 1

O enunciado dá um sistema LTI discreto cuja entrada é \,x[n]=[1,2,3,3,2,2,1]\,
e a saída é \,y[n]=[1,5,11,16,17,14,11,7,2].
Como trata–se de um sistema LTI, vale
y[n] \;=\;\sum_{k} x[k]\,h[n-k]
ou seja, y[n]=x[n]*h[n]. Para achar a resposta ao impulso h[n], vamos usar o método de deconvolução direta.

Passo 2

Primeiro determinamos o comprimento de h[n]. Se \len(x)=7 e \len(y)=9, então
\len(y) \;=\;\len(x)+\len(h)-1
implica
9 = 7 + \len(h) - 1 \quad\Longrightarrow\quad \len(h)=3.
Logo, seja \,h[n] com valores \,h[0],h[1],h[2].
Pelos primeiros valores de y[n]:
y[0] = x[0]\,h[0] = 1\cdot h[0] = 1 \quad\Longrightarrow\quad h[0]=1.
y[1] = x[0]\,h[1] + x[1]\,h[0] = 1\cdot h[1] + 2\cdot1 =5 \quad\Longrightarrow\quad h[1]=3.
y[2] = x[0]\,h[2] + x[1]\,h[1] + x[2]\,h[0] = 1\cdot h[2] + 2\cdot3 + 3\cdot1 =11 \quad\Longrightarrow\quad h[2]=2.
Verificação em n=3 confirma: \,y[3]=2\cdot2+3\cdot3+3\cdot1=16, ok.

Passo 3

Com isso, a resposta ao impulso é
h[n] = \begin{cases} 1, & n=0,\\\\ 3, & n=1,\\\\ 2, & n=2,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
A transformada Z é
H(z) \;=\;\sum_{k=0}^{2} h[k]\,z^{-k} \;=\;1 + 3\,z^{-1} + 2\,z^{-2}.
Como H(z) é polinomial em z^{-1} de grau finito, o sistema é FIR.

Passo 4

Para entrada x[n]=2n+1 válida em 0\le n\le3, a saída é ainda a convolução
y[n] = \sum_{k=0}^{2} h[k]\,x[n-k].
Calculamos para n=0,1,2,3:
y[0] = h[0]\,x[0] = 1\cdot(2\cdot0+1) =1,
y[1] = h[0]\,x[1] + h[1]\,x[0] =1\cdot3 + 3\cdot1 =6,
y[2] = h[0]\,x[2] + h[1]\,x[1] + h[2]\,x[0] =1\cdot5 + 3\cdot3 + 2\cdot1 =16,
y[3] = h[0]\,x[3] + h[1]\,x[2] + h[2]\,x[1] =1\cdot7 + 3\cdot5 + 2\cdot3 =28.

Resposta

a) \,h[n]=[1,3,2].
b) \displaystyle H(z)=1+3z^{-1}+2z^{-2}. É um sistema FIR.
c) A saída é \,y[n]=[1,6,16,28] para 0\le n\le3.

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