1. Para o sinal f(t)=u(t)-u(t-1) responda:
    a) Escreva os comandos SCILAB para definir o sinal f(t) e plotar o seu gráfico no intervalo \mathbf{- 4 . 0}< t<6.0. Copie um esboço do gráfico na sua prova.
    b) Calcule analiticamente F(j w), que é transformada de Fourier do sinal f(t). O cálculo pode ser feito diretamente a partir de integração, ou consultando a Tabela de Transformadas da Fourier e de suas Propriedades.
    c) Escreva os comandos Octave necessários para se calcular numericamente F(j w), com eixo de frequência no intervalo -30 \leq w \leq 30. Plote o gráfico de Magnitude de F(j w) e copie um esboço deste gráfico na sua prova.
    d) A partir da Tabela de Transformadas de Laplace e de suas Propriedades, calcule F(s), que é a transformada de Laplace de \mathrm{f}(\mathrm{t});
    e) Recalcule F(j w), agora a partir de F(s) e de manipulaçôes numéricas necessárias.

Passo 1

O enunciado define o sinal
f(t)=u(t)-u(t-1)
onde u(t) é o degrau de Heaviside, e pede:
– (a) comandos SCILAB para gerar e plotar f(t) em -4<t<6;
– (b) cálculo analítico de sua Transformada de Fourier F(j\omega);
– (c) comandos Octave para calcular numericamente F(j\omega) em -30\le\omega\le30 e plotar \lvert F(j\omega)\rvert;
– (d) cálculo de sua Transformada de Laplace F(s);
– (e) obtenção de F(j\omega) a partir de F(s).

Passo 2

Para (a), em SCILAB criamos o vetor de tempo e usamos a função de degrau interna heaviside. Por exemplo:
// defino o vetor de tempo
t = -4:0.01:6;
// defino o sinal f(t) = u(t) - u(t-1)
f = heaviside(t) - heaviside(t-1);
// ploto
plot(t, f);
xlabel(‘t’);
ylabel(‘f(t)’);
title(‘Sinal f(t)=u(t)-u(t-1)’);

Passo 3

Para (b), usamos a definição
F(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,e^{-j\omega t}\,dt =\int_{0}^{1}e^{-j\omega t}\,dt
porque f(t)=1 em 0\le t<1 e zero fora. Integramos:
F(j\omega) =\left[\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega}\right]_{0}^{1} =\frac{1-e^{-j\omega}}{j\omega}.

Passo 4

Para (c), em Octave definimos um vetor de frequências e usamos a expressão analítica para F(j\omega):
// vetor de frequência
w = -30:0.1:30;
// calcular transformada
F = (1 - exp(-jw)) ./ (jw);
// tratar w=0 para evitar divisão por zero
F(w==0) = 1;
// plotar magnitude
plot(w, abs(F));
xlabel(’\omega’);
ylabel(’|F(j\omega)|’);
title(‘Magnitude de F(j\omega)’);

Passo 5

Para (d), usamos a tabela de Laplace ou integramos
F(s)=\int_{0}^{1}e^{-s t}\,dt =\left[\frac{e^{-s t}}{-s}\right]_{0}^{1} =\frac{1-e^{-s}}{s}.

Passo 6

Para (e), basta tomar s=j\omega na expressão de F(s):
F(j\omega)=\frac{1-e^{-j\omega}}{j\omega},
que coincide com o resultado do passo 3.

Resposta

(a)
t = -4:0.01:6;
f = heaviside(t) - heaviside(t-1);
plot(t, f);
(b)
F(j\omega)=\frac{1 - e^{-j\omega}}{j\omega}.
(c)
w = -30:0.1:30;
F = (1 - exp(-jw)) ./ (jw);
F(w==0) = 1;
plot(w, abs(F));
(d)
F(s)=\frac{1 - e^{-s}}{s}.
(e)
Substituindo s=j\omega em F(s) obtém-se
F(j\omega)=\frac{1 - e^{-j\omega}}{j\omega},
igual ao item (b).

Exercícios relacionados