Classifique os seguintes sistema. Justifique as respostas.
y(t)=\operatorname{sen}(u(t))

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de tempo contínuo definido por
y(t) = \sin\bigl(u(t)\bigr).
Vamos classificar esse sistema quanto a:
  1. Linearidade
  2. Invariância no tempo
  3. Causalidade
  4. Memória
  5. Invertibilidade

Passo 2

Para verificar se o sistema é linear, usamos os princípios de superposição e homogeneidade. Sejam u_{1}(t) e u_{2}(t) duas entradas quaisquer e a,b escalares. O sistema seria linear se
T\{a\,u_{1}(t) + b\,u_{2}(t)\} = a\,T\{u_{1}(t)\} + b\,T\{u_{2}(t)\}.
Aqui
T\{a\,u_{1}(t) + b\,u_{2}(t)\} = \sin\bigl(a\,u_{1}(t) + b\,u_{2}(t)\bigr),
mas
a\,T\{u_{1}(t)\} + b\,T\{u_{2}(t)\} = a\,\sin\bigl(u_{1}(t)\bigr) + b\,\sin\bigl(u_{2}(t)\bigr).
Como em geral
\sin(a\,u_{1}+b\,u_{2}) \neq a\,\sin(u_{1}) + b\,\sin(u_{2}), o sistema é não linear.

Passo 3

Para checar invariância no tempo, deslocamos a entrada em \tau e vemos o efeito na saída. Seja u_{\tau}(t)=u(t-\tau). Então
T\{u_{\tau}(t)\} = \sin\bigl(u(t-\tau)\bigr) = y(t-\tau).
Ou seja, atrasar a entrada em \tau atrasa a saída em \tau, sem alterar a forma. Logo o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

Um sistema é causal se a saída em t_{0} depende apenas de valores de entrada para t \le t_{0}. Aqui
y(t_{0}) = \sin\bigl(u(t_{0})\bigr)
depende somente de u em t_{0}. Não há dependência de valores futuros ( t>t_{0}). Portanto é causal.

Passo 5

O sistema é dito sem memória (memoryless) ou estático se, para cada instante t, a saída depende apenas de u(t) e não de valores passados ou futuros u(t') com t'\neq t. Como
y(t)=\sin\bigl(u(t)\bigr)
satisfaz exatamente isso, ele é sem memória (ou estático).

Passo 6

Para verificar invertibilidade, perguntamos se existe um operador inverso T^{-1} tal que, dado y(t), obtenhamos unicamente u(t). Aqui
y(t)=\sin\bigl(u(t)\bigr)
e a função \sin é periódica e não monótona em \mathbb{R}. Vários valores de u(t) diferentes levam ao mesmo y(t). Não é possível recuperar u(t) de forma única. Então o sistema é não invertível.

Resposta

O sistema y(t)=\sin(u(t)) é:
– Não linear
– Invariante no tempo
– Causal
– Sem memória (estático)
– Não invertível

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