(Para entrega) Na aula de 27 / 08 nós deduzimos um termo para a equação da continuidade na coordenada x de um sistema de coordenadas retangulares. Nesta questão sua tarefa será obter os termos para as coordenadas y a z e então formar a equação da continuidade completa.

Passo 1

O enunciado pede que eu obtenha os termos para as coordenadas y e z da equação da continuidade em coordenadas retangulares e, em seguida, forme a equação da continuidade completa. Informações relevantes dadas (ou que vou usar, já que o termo em x foi deduzido em aula):
  • Temos um pequeno volume de controle retangular de dimensões \Delta x, \Delta y, \Delta z.
  • As propriedades do fluido são a densidade \rho e as componentes de velocidade nas direções x,y,z, que vou denotar por u, v, w, respectivamente.
  • O termo relativo à coordenada x já foi deduzido na aula; vou representá‑lo pela expressão \dfrac{\partial (\rho u)}{\partial x} (aplicável ao volume de controle).
  • A tarefa é obter explicitamente os termos análogos em y e z e combinar tudo na equação diferencial da continuidade.

Passo 2

Descrevendo o volume de controle e o que significa fluxo de massa: pego um elemento retangular com volume \Delta V=\Delta x\,\Delta y\,\Delta z. Pela face normal à direção y (áreas \Delta x\,\Delta z) atravessa massa com vazão mássica por unidade de área igual a \rho v. Vou explicar claramente o que é cada símbolo:
\rho é a densidade local do fluido (massa por unidade de volume).
v é a componente da velocidade na direção y (velocidade normal à face y).
O produto \rho v tem unidade de massa por área por tempo e representa a vazão mássica superficial. Multiplicando por \Delta x\,\Delta z obtenho a massa que sai/entra por aquela face por unidade de tempo.

Passo 3

Calcular o fluxo de massa pelas faces em y.
Na face localizada em y (lado “inferior”) a vazão mássica é aproximadamente
(\rho v)\big|_{y}\cdot (\Delta x\,\Delta z).
Na face oposta, em y+\Delta y (lado “superior”), a vazão mássica vale aproximadamente o valor em y mais a variação linear em \Delta y. Usamos a expansão de Taylor de primeira ordem:
(\rho v)\big|_{y+\Delta y} \approx (\rho v)\big|_{y} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y}\Big|_{y}\,\Delta y.
Multiplicando pela área \Delta x\,\Delta z obtenho a massa que atravessa a face em y+\Delta y:
\left[(\rho v)\big|_{y} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y}\Big|_{y}\,\Delta y\right]\cdot(\Delta x\,\Delta z).
O fluxo líquido de massa saindo pelas duas faces em y (fluxo para fora positivo) é a diferença:
\begin{aligned} \text{Fluxo}_{y,\text{líq}} &= (\rho v)\big|_{y+\Delta y}\,\Delta x\,\Delta z - (\rho v)\big|_{y}\,\Delta x\,\Delta z \\\ &\approx \frac{\partial (\rho v)}{\partial y}\,\Delta y\,\Delta x\,\Delta z. \end{aligned}í
Ou seja,
\text{Fluxo}_{y,\text{líq}} \approx \frac{\partial (\rho v)}{\partial y}\,\Delta V.í
Observação didática sobre a expansão: mantivemos apenas o termo linear em \Delta y porque quando \Delta y\to 0 os termos de ordem superior são desprezíveis frente ao termo linear; isso é o que permite passar para a forma diferencial no limite.

Passo 4

Calcular o fluxo de massa pelas faces em z (idêntico raciocínio que em y).
Área das faces normais a z é \Delta x\,\Delta y. A vazão mássica superficial é \rho w, onde w é a componente de velocidade na direção z. Pela expansão de Taylor:
(\rho w)\big|_{z+\Delta z} \approx (\rho w)\big|_{z} + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z}\,\Delta z.
O fluxo líquido de massa saindo pelas faces em z é
\text{Fluxo}_{z,\text{líq}} \approx \frac{\partial (\rho w)}{\partial z}\,\Delta z\,\Delta x\,\Delta y = \frac{\partial (\rho w)}{\partial z}\,\Delta V.í

Passo 5

Relembrando o termo em x (o que foi deduzido em aula): pelas faces normais a x (área \Delta y\,\Delta z) o fluxo líquido de massa saindo é, por raciocínio análogo,
\text{Fluxo}_{x,\text{líq}} \approx \frac{\partial (\rho u)}{\partial x}\,\Delta V,í
onde u é a componente de velocidade na direção x. Note que aqui eu estou usando a mesma convenção de sinal (fluxo positivo para fora do volume) que foi usada para y e z.

Passo 6

Escrever a conservação de massa para o volume de controle: variação temporal da massa contida no volume + fluxo líquido de massa que sai pelas faces = 0. A massa no volume é \rho\,\Delta V, então a taxa de variação temporal é
\frac{\partial \rho}{\partial t}\,\Delta V.
Somando os fluxos líquidos em x,y,z temos:
\frac{\partial \rho}{\partial t}\,\Delta V + \frac{\partial (\rho u)}{\partial x}\,\Delta V + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y}\,\Delta V + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z}\,\Delta V = 0.
Factor comum \Delta V e, dividindo por \Delta V (e tomando o limite \Delta x,\Delta y,\Delta z\to 0 para obter a forma local) obtemos a forma diferencial da equação da continuidade:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} = 0.

Passo 7

Expressões alternativas e interpretação física: a equação pode ser escrita de forma compacta usando o operador divergente:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho \mathbf{u}) = 0,
onde \mathbf{u}=(u,v,w). Interpretação física: a taxa de variação local da densidade é compensada pelo divergente do fluxo de massa; se mais massa sai do que entra, a densidade local diminui, e vice‑versa.

Passo 8

Casos especiais rápidos para fixar o conceito:
  • Fluido incompressível com densidade constante \rho= constante: então \dfrac{\partial \rho}{\partial t}=0 e a equação reduz para
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0,
ou seja \nabla\cdot\mathbf{u}=0. Isso significa que o campo de velocidade é divergência‑nula (nenhuma criação/aniquilação local de volume).
  • Em escoamentos unidimensionais (somente u\neq 0 e v=w=0), a continuidade torna‑se \dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \dfrac{\partial (\rho u)}{\partial x}=0, que é o caso que foi deduzido em aula para x.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial (\rho v)}{\partial y}
\displaystyle \frac{\partial (\rho w)}{\partial z}
\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} = 0

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