Calcular a perda de carga total utilizando:
O método dos comprimentos equivalentes no escoamento da água à vazão de 5 \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}, através de uma tubulação horizontal de ferro galvanizado de 1,5 polegadas, constituída de 200 m de canos retos, 5 cotovelos de 90^{\circ}, 2 registros de gaveta, 1 válvula globo e uma válvula de retenção tipo leve. Considere a viscosidade da água como sendo 1,006 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede a perda de carga total no escoamento de água por uma tubulação horizontal usando o método dos comprimentos equivalentes. Dados fornecidos e o que precisamos extrair deles:
  • Vazão: \,Q=5\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Tubulação: ferro galvanizado, diâmetro nominal de 1{,}5 polegadas (ou 1\frac{1}{2}").
  • Comprimento de canos retos: \,L_{\text{reto}}=200\\ \mathrm{m}.
  • Acessórios: 5 cotovelos de 90^\circ, 2 registros de gaveta (gate valves), 1 válvula globo e 1 válvula de retenção do tipo leve (check valve, tipo leve).
  • Viscosidade cinemática da água: \,\nu=1{,}006\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Objetivo final: calcular a perda de carga total (em metros de coluna d’água), usando o método dos comprimentos equivalentes.
Observações importantes que vou assumir (sem perguntar, porque o enunciado não dá detalhes):
  • Adoto o diâmetro interno típico para tubulação metálica de 1{,}5'' (NPS 1½, Schedule 40) como \,D=0{,}041\\ \mathrm{m} (aproximadamente 41\\ \mathrm{mm}). Esta é uma escolha de tabela usual para tubos de aço/ferro galvanizado.
  • Adoto rugosidade absoluta típica para ferro galvanizado \,\epsilon=0{,}15\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Adoto valores típicos de comprimento equivalente (em múltiplos de D) para os acessórios: cotovelo 90° \,L_e/D=30; registro de gaveta (totalmente aberto) \,L_e/D=8; válvula globo (totalmente aberta) \,L_e/D=340; válvula de retenção tipo leve \,L_e/D=50. Vou explicar e justificar esses números no passo adequado.
A partir daqui a resolução procede em cálculo passo a passo.

Passo 2

Converter unidades e calcular velocidade média do fluido na tubulação.
Primeiro converto a vazão para \mathrm{m^{3}/s}:
Q=\frac{5}{3600}=\;0{,}0013888889\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Área da seção reta circular (explico a fórmula): a área A é dada por
A=\frac{\pi D^{2}}{4},
onde \,D é o diâmetro interno da tubulação. Substituindo \,D=0{,}041\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi (0{,}041)^{2}}{4}\approx 0{,}0013203\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade média \,V é a vazão dividida pela área:
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}0013888889}{0{,}0013203}\approx 1{,}052\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação curta: a água corre a cerca de 1{,}05\\ \mathrm{m/s} dentro do cano.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e determinar o regime (laminar/turbulento). Fórmula do número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu},
onde \,V é a velocidade média, \,D o diâmetro e \,\nu a viscosidade cinemática.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{1{,}052\cdot 0{,}041}{1{,}006\times 10^{-6}}\approx 4{,}29\times 10^{4}.
Conclusão: \mathrm{Re}\approx 4{,}3\times 10^{4}, portanto escoamento é turbulento (regime turbulento para \mathrm{Re}\gtrsim 4000).

Passo 4

Escolher um método para obter o fator de atrito de Darcy–Weisbach f. Como estamos no regime turbulento e temos rugosidade relativa conhecida ( \epsilon/D), uso a fórmula explícita de Swamee–Jain que aproxima a solução da equação de Colebrook. A fórmula de Swamee–Jain é:
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\Big(\dfrac{\epsilon}{3{,}7D} + \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Big)\right]^{2}}.
Explico as variáveis:
  • f: fator de atrito de Darcy (adimensional).
  • \epsilon: rugosidade absoluta da parede (m).
  • D: diâmetro interno (m).
  • \mathrm{Re}: número de Reynolds (adimensional).
Calcular os termos:
\frac{\epsilon}{3{,}7D}=\frac{1{,}5\times 10^{-4}}{3{,}7\cdot 0{,}041}\approx 9{,}89\times 10^{-4}.
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=\frac{5{,}74}{(4{,}29\times 10^{4})^{0{,}9}}\approx 3{,}889\times 10^{-4}.
Somando dentro do logaritmo:
\frac{\epsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 1{,}3779\times 10^{-3}.
Aplicando a fórmula:
f \approx \frac{0{,}25}{\big[\log_{10}(1{,}3779\times 10^{-3})\big]^{2}} \approx \frac{0{,}25}{(-2{,}861)^{2}}\approx 0{,}0305.
Interpretação: f\approx 0{,}0305. É um valor típico para água em tubo de ferro com essa rugosidade e Reynolds da ordem de 10^{4}.

Passo 5

Explicar o método dos comprimentos equivalentes e escolher os comprimentos equivalentes para cada acessório.
Conceito: cada acessório causa uma perda de carga local equivalente a um certo comprimento de tubo reto adicional. A perda total é tratada como se a tubulação tivesse comprimento total equivalente
L_{\text{eq,tot}}=L_{\text{reto}}+\sum L_{e,\text{acessório}}.ó
Cada L_{e,\text{acessório}}ó é tipicamente dado na forma L_e/D (múltiplos do diâmetro). Então
L_{e,\text{acessório}}=\left(\frac{L_e}{D}\right)\!D.ó
Valores típicos adotados (tabelas de engenharia, uso comum em problemas):
  • Cotovelo 90° (curto raio): \displaystyle \frac{L_e}{D}=30.
  • Registro de gaveta (totalmente aberto): \displaystyle \frac{L_e}{D}=8.
  • Válvula globo (totalmente aberta): \displaystyle \frac{L_e}{D}=340.
  • Válvula de retenção tipo leve (check valve, leve): \displaystyle \frac{L_e}{D}=50.
Justificativa curta: são valores de tabelas padrão. A válvula globo tem grande resistência interna (por isso \,340D é grande). O registro de gaveta, quando totalmente aberto, tem baixa perda (pequeno L_e/D). A válvula de retenção leve tem resistência intermediária.

Passo 6

Calcular os comprimentos equivalentes numéricos para cada grupo de acessórios e somar:
Diâmetro D=0{,}041\\ \mathrm{m}.
Para os 5 cotovelos:
L_{e,\text{cotovelos}}=5\cdot(30D)=5\cdot(30\cdot 0{,}041)=5\cdot 1{,}23=6{,}15\\ \mathrm{m}.
Para os 2 registros de gaveta:
L_{e,\text{gaveta}}=2\cdot(8D)=2\cdot(8\cdot 0{,}041)=2\cdot 0{,}328=0{,}656\\ \mathrm{m}.
Para a 1 válvula globo:
L_{e,\text{globo}}=1\cdot(340D)=340\cdot 0{,}041=13{,}94\\ \mathrm{m}.
Para a 1 válvula de retenção tipo leve:
L_{e,\text{retenção}}=1\cdot(50D)=50\cdot 0{,}041=2{,}05\\ \mathrm{m}.çã
Somando todos os comprimentos equivalentes dos acessórios:
L_{e,\text{total acessórios}}=6{,}15+0{,}656+13{,}94+2{,}05\approx 22{,}80\\ \mathrm{m}.ó
Comprimento equivalente total da linha:
L_{\text{eq,tot}}=L_{\text{reto}}+L_{e,\text{total acessórios}}=200+22{,}80=222{,}80\\ \mathrm{m}.ó

Passo 7

Aplicar a fórmula de Darcy–Weisbach usando o comprimento equivalente total. A perda de carga total por atrito é:
h_f = f\cdot\frac{L_{\text{eq,tot}}}{D}\cdot\frac{V^{2}}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga total (m),
  • f é o fator de atrito (já calculado),
  • L_{\text{eq,tot}} é o comprimento equivalente total (m),
  • D é o diâmetro interno (m),
  • V é a velocidade média (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
Já temos f\approx 0{,}0305, L_{\text{eq,tot}}=222{,}80\\ \mathrm{m}, D=0{,}041\\ \mathrm{m}, V\approx 1{,}052\\ \mathrm{m/s}.
Calcular \dfrac{V^{2}}{2g}:
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(1{,}052)^{2}}{2\cdot 9{,}81}=\frac{1{,}1067}{19{,}62}\approx 0{,}05639\\ \mathrm{m}.
Calcular L_{\text{eq,tot}}/D:
\frac{L_{\text{eq,tot}}}{D}=\frac{222{,}80}{0{,}041}\approx 5434{,}15.
Agora então:
h_f \approx 0{,}0305\cdot 5434{,}15\cdot 0{,}05639\approx 9{,}37\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação do resultado e observações finais pedagógicas.
  • A perda de carga total calculada pelo método dos comprimentos equivalentes é aproximadamente \,9{,}37\\ \mathrm{m} de coluna d’água.
  • Sensibilidade: os valores de L_e/D para acessórios e a rugosidade \epsilon influenciam o resultado. A maior contribuição adicional aqui veio da válvula globo ( \sim 13{,}94\\ \mathrm{m} equivalente), que mostra como certos tipos de válvulas aumentam muito a perda.
  • Se precisar de mais precisão numa prova, deve-se indicar as tabelas usadas (para L_e/D e \epsilon) ou justificar suposições; aqui usei valores típicos de tabelas de engenharia.

Resposta

9{,}37\\ \mathrm{m}

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