(Para entrega) Considere um escoamento em uma tubulação convergente. A seção de entrada tem diâmetro de 4 m e a velocidade é de
. A seção de saída tem diâmetro de 2 m , o que resulta em uma aceleração ao longo da passagem do fluido por este tubo. O comprimento total entre a entrada e a saída é de 10 m . O escoamento ocorre em regime permanente e pode ser considerado bidimensional, como é característicos de sistemas convergentes.
(a) Utilizando alguma ferramenta digital (Excel ou IA) obtenha uma função para expressar a velocidade ao longo do canal como uma função da posição ao longo dele. Considere como base uma partícula sobre a linha de centro.
(b) Empregando a derivada material, realize as considerações necessárias, elimine os termos não necessários e calcule a aceleração na saída do tubo?
(c) Poderíamos calcular esta aceleração de outra forma?
(a) Utilizando alguma ferramenta digital (Excel ou IA) obtenha uma função para expressar a velocidade ao longo do canal como uma função da posição ao longo dele. Considere como base uma partícula sobre a linha de centro.
(b) Empregando a derivada material, realize as considerações necessárias, elimine os termos não necessários e calcule a aceleração na saída do tubo?
(c) Poderíamos calcular esta aceleração de outra forma?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) obter uma função que descreva a velocidade ao longo do canal (ao longo da linha de centro), do ponto de entrada até a saída;
(b) usando a derivada material, simplificar o que for necessário e calcular a aceleração na saída do tubo;
(c) dizer se é possível calcular essa aceleração de outra forma (e como).
(a) obter uma função que descreva a velocidade ao longo do canal (ao longo da linha de centro), do ponto de entrada até a saída;
(b) usando a derivada material, simplificar o que for necessário e calcular a aceleração na saída do tubo;
(c) dizer se é possível calcular essa aceleração de outra forma (e como).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
- Diâmetro na entrada:
.\n - Velocidade na entrada (linha de centro):
.\n - Diâmetro na saída:
.\n - Comprimento total entre entrada e saída:
.\n - Escoamento em regime permanente (steady) e bidimensional; vamos trabalhar sobre a linha de centro (variação apenas ao longo da coordenada
do tubo, do inlet ao outlet ).
Observações importantes que vou usar (não estou perguntando nada, estou assumindo com justificativa física útil para a prova):
- Como é um tubo convergente e o problema pede a velocidade ao longo de uma partícula sobre a linha de centro, vou assumir que o diâmetro varia linearmente com
entre entrada e saída (isso é a hipótese natural para um tubo com afunilamento uniforme). Se o enunciado quisesse outra forma, teria dado. - Para obter a variação de velocidade uso conservação de massa para fluido incompressível em regime permanente: vazão volumétrica
constante ao longo do tubo (isso é padrão para esse tipo de problema).
Passo 2
Construir a expressão geométrica do diâmetro ao longo do eixo
(centro do tubo).
Definição da coordenada: tomo
na entrada e
na saída. Com variação linear do diâmetro entre os pontos dados, a fórmula é uma interpolação linear:
Agora substituo os valores numéricos
,
,
:
Checagem rápida (útil em prova): em
dá
; em
dá
. Tudo consistente.
Passo 3
Conservação de massa (continuidade) para fluido incompressível em regime permanente — explicação e aplicação.
Teoria (passo-a-passo, didático):
- A vazão volumétrica
atravessando qualquer seção é dada por , onde é a área da seção e a velocidade média/na linha de centro assumida representativa no problema. Aqui, para um duto circular, . - Em regime permanente e fluido incompressível,
é constante ao longo do tubo, então .
Aplicação:
- Área na entrada:
. - Área genérica:
.
Como
, as constantes
cancelam, ficando:
Substituindo
e
:
Verificações rápidas (sempre faça na prova):
- Em
: consistente com o dado. - Em
: — ou seja, na saída a velocidade é , também consistente com continuidade entre diâmetros dados.
Passo 4
Derivada material (substantiva) — teórica e aplicação ao caso unidimensional steady.
Teoria didática:
- A derivada material (ou substancial) mede a taxa de variação temporal que uma partícula do fluido experimenta enquanto se move. Em notação é
- Aqui
é a variação local no tempo em um ponto fixo, e é a parte convectiva (variação devidas às diferenças espaciais vistas pela partícula em movimento). - Em regime permanente (steady),
. Se o campo de velocidade tem apenas componente ao longo de e depende só de , então e
- A aceleração material
é exatamente . Para nosso caso unidimensional steady:
- Observação útil:
. Às vezes isso facilita integrações e interpretações.
Passo 5
Calcular explicitamente
e a aceleração na saída.
Começo com a expressão encontrada para
:
Derivo passo a passo (cadeia e potência):
- Use
com . - Então
. - Como
, temos
Calcule os números:
e
. Logo
Agora a aceleração material (só componente axial):
Avalio isso na saída
. Primeiro calcule o denominador:
Então
Direção: ao longo do eixo do tubo, no sentido do escoamento (aceleração positiva na direção do fluxo).
Pequena verificação qualitativa: a velocidade aumentou de
para
ao longo dos
; a aceleração média se fosse constante seria
. O valor local da aceleração na saída
é maior que essa média — nada de estranho: aceleração espacial aqui cresce conforme a área encolhe mais rapidamente perto da saída (pela forma do
e da dependência
).
Passo 6
Resposta à pergunta (c): poderíamos calcular essa aceleração de outra forma? (explico opções, prós e contras)
Sim — algumas alternativas:
- Usar a fórmula material que usei, mas calculando numericamente a derivada (diferenças finitas) a partir de valores discretos de
obtidos por ferramenta digital; isso é útil se não for linear ou a função for conhecida só numericamente. Ex.: aproximar . - Usar a equação de Euler (momento de quantidade de movimento sem viscosidade):
. Se você tiver a distribuição de pressão, pode calcular a aceleração a partir daí rearranjando; porém precisa conhecer . Essa via é necessária quando queremos relacionar aceleração com gradiente de pressão (caso realista em tubos). - Calcular aceleração média por cinemática da partícula: primeiro obter o tempo que a partícula leva para ir de
a (usando ), e então usar . Essa é uma alternativa direta mas exige a integral do inverso de e dá uma aceleração média, não a local. - Se o campo de velocidades fosse experimental ou muito irregular, usar diferenciação numérica ou regressão / ajuste por software (Excel, Python, etc.) para obter
e então .
Resumo prático: sim, há outras formas — a que eu fiz (derivada material analítica) é a forma mais direta e exata quando você conhece
analiticamente; Euler/pressão é a alternativa se você tem informações de pressão; diferenças finitas e integrais dão aproximações úteis em prática.
Resposta
(a)
(b)
(direção: no sentido do escoamento).
(c) Sim. Podemos obter a aceleração por diferenciação numérica de
, por
usando o tempo de trânsito (dá aceleração média), ou relacioná-la ao gradiente de pressão via a equação de Euler
se
for conhecido.