(Para entrega) Considere um escoamento em uma tubulação convergente. A seção de entrada tem diâmetro de 4 m e a velocidade é de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A seção de saída tem diâmetro de 2 m , o que resulta em uma aceleração ao longo da passagem do fluido por este tubo. O comprimento total entre a entrada e a saída é de 10 m . O escoamento ocorre em regime permanente e pode ser considerado bidimensional, como é característicos de sistemas convergentes.
(a) Utilizando alguma ferramenta digital (Excel ou IA) obtenha uma função para expressar a velocidade ao longo do canal como uma função da posição ao longo dele. Considere como base uma partícula sobre a linha de centro.
(b) Empregando a derivada material, realize as considerações necessárias, elimine os termos não necessários e calcule a aceleração na saída do tubo?
(c) Poderíamos calcular esta aceleração de outra forma?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(a) obter uma função que descreva a velocidade ao longo do canal (ao longo da linha de centro), do ponto de entrada até a saída;
(b) usando a derivada material, simplificar o que for necessário e calcular a aceleração na saída do tubo;
(c) dizer se é possível calcular essa aceleração de outra forma (e como).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • Diâmetro na entrada: \,D_{\text{in}}=4\\ \mathrm{m}.\n
  • Velocidade na entrada (linha de centro): \,v_{\text{in}}=1\\ \mathrm{m/s}.\n
  • Diâmetro na saída: \,D_{\text{out}}=2\\ \mathrm{m}.\n
  • Comprimento total entre entrada e saída: \,L=10\\ \mathrm{m}.\n
  • Escoamento em regime permanente (steady) e bidimensional; vamos trabalhar sobre a linha de centro (variação apenas ao longo da coordenada x do tubo, do inlet x=0 ao outlet x=L).
Observações importantes que vou usar (não estou perguntando nada, estou assumindo com justificativa física útil para a prova):
  • Como é um tubo convergente e o problema pede a velocidade ao longo de uma partícula sobre a linha de centro, vou assumir que o diâmetro varia linearmente com x entre entrada e saída (isso é a hipótese natural para um tubo com afunilamento uniforme). Se o enunciado quisesse outra forma, teria dado.
  • Para obter a variação de velocidade uso conservação de massa para fluido incompressível em regime permanente: vazão volumétrica Q constante ao longo do tubo (isso é padrão para esse tipo de problema).

Passo 2

Construir a expressão geométrica do diâmetro ao longo do eixo x (centro do tubo).
Definição da coordenada: tomo x=0 na entrada e x=L=10\\ \mathrm{m} na saída. Com variação linear do diâmetro entre os pontos dados, a fórmula é uma interpolação linear:
D(x)=D_{\text{in}}-\frac{D_{\text{in}}-D_{\text{out}}}{L}\,x.
Agora substituo os valores numéricos \,D_{\text{in}}=4, \,D_{\text{out}}=2, \,L=10:
D(x)=4-\frac{4-2}{10}\,x=4-0,2x.
Checagem rápida (útil em prova): em x=0 D=4; em x=10 D=2. Tudo consistente.

Passo 3

Conservação de massa (continuidade) para fluido incompressível em regime permanente — explicação e aplicação.
Teoria (passo-a-passo, didático):
  • A vazão volumétrica Q atravessando qualquer seção é dada por Q=A(x)\,v(x), onde A(x) é a área da seção e v(x) a velocidade média/na linha de centro assumida representativa no problema. Aqui, para um duto circular, A(x)=\dfrac{\pi}{4}D(x)^2.
  • Em regime permanente e fluido incompressível, Q é constante ao longo do tubo, então A(x)\,v(x)=\text{const}=A_{\text{in}}\,v_{\text{in}}.
Aplicação:
  • Área na entrada: A_{\text{in}}=\dfrac{\pi}{4}D_{\text{in}}^2=\dfrac{\pi}{4}\cdot 4^2=\dfrac{\pi}{4}\cdot 16.
  • Área genérica: A(x)=\dfrac{\pi}{4}D(x)^2=\dfrac{\pi}{4}(4-0,2x)^2.
Como A(x)\,v(x)=A_{\text{in}}\,v_{\text{in}}, as constantes \dfrac{\pi}{4} cancelam, ficando:
v(x)=v_{\text{in}}\frac{D_{\text{in}}^2}{D(x)^2}.
Substituindo v_{\text{in}}=1 e D_{\text{in}}=4:
v(x)=\frac{16}{\bigl(4-0,2x\bigr)^2}\quad\text{(unidade: m/s)}.
Verificações rápidas (sempre faça na prova):
  • Em x=0: v(0)=16/4^2=16/16=1\\ \mathrm{m/s} consistente com o dado.
  • Em x=10: v(10)=16/(4-2)^2=16/4=4\\ \mathrm{m/s} — ou seja, na saída a velocidade é 4\\ \mathrm{m/s}, também consistente com continuidade entre diâmetros dados.

Passo 4

Derivada material (substantiva) — teórica e aplicação ao caso unidimensional steady.
Teoria didática:
  • A derivada material (ou substancial) mede a taxa de variação temporal que uma partícula do fluido experimenta enquanto se move. Em notação é
\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla).
  • Aqui \partial/\partial t é a variação local no tempo em um ponto fixo, e (\mathbf{v}\cdot\nabla) é a parte convectiva (variação devidas às diferenças espaciais vistas pela partícula em movimento).
  • Em regime permanente (steady), \partial/\partial t=0. Se o campo de velocidade tem apenas componente ao longo de x e depende só de x, então \mathbf{v}=v(x)\,\mathbf{e}_x e
(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}=v(x)\frac{dv}{dx}\,\mathbf{e}_x.
  • A aceleração material \mathbf{a} é exatamente \mathbf{a}=\dfrac{D\mathbf{v}}{Dt}. Para nosso caso unidimensional steady:
\mathbf{a}=v(x)\frac{dv}{dx}\,\mathbf{e}_x.
  • Observação útil: v\frac{dv}{dx}=\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dx}\bigl(v^2\bigr). Às vezes isso facilita integrações e interpretações.

Passo 5

Calcular explicitamente dv/dx e a aceleração na saída.
Começo com a expressão encontrada para v(x):
v(x)=16\bigl(4-0,2x\bigr)^{-2}.
Derivo passo a passo (cadeia e potência):
  • Use v(x)=16\cdot u(x)^{-2} com u(x)=4-0,2x.
  • Então dv/dx = 16\cdot(-2)u^{-3}\cdot du/dx.
  • Como du/dx=-0,2, temos
\frac{dv}{dx}=16\cdot(-2)\cdot(-0,2)\,(4-0,2x)^{-3}.
Calcule os números: -2\cdot(-0,2)=0,4 e 16\cdot 0,4=6,4. Logo
\frac{dv}{dx}=\frac{6,4}{\bigl(4-0,2x\bigr)^3}.
Agora a aceleração material (só componente axial):
a(x)=v(x)\frac{dv}{dx}=\frac{16}{(4-0,2x)^2}\cdot\frac{6,4}{(4-0,2x)^3}=\frac{102,4}{(4-0,2x)^5}.
Avalio isso na saída x=L=10\\ \mathrm{m}. Primeiro calcule o denominador:
4-0,2\cdot 10=4-2=2.
Então
a(10)=\frac{102,4}{2^5}=\frac{102,4}{32}=3,2\\ \mathrm{m/s^2}.
Direção: ao longo do eixo do tubo, no sentido do escoamento (aceleração positiva na direção do fluxo).
Pequena verificação qualitativa: a velocidade aumentou de 1\\ \mathrm{m/s} para 4\\ \mathrm{m/s} ao longo dos 10\\ \mathrm{m}; a aceleração média se fosse constante seria \dfrac{v_{\text{out}}^2-v_{\text{in}}^2}{2L}=\dfrac{16-1}{20}=0,75\\ \mathrm{m/s^2}. O valor local da aceleração na saída 3,2\\ \mathrm{m/s^2} é maior que essa média — nada de estranho: aceleração espacial aqui cresce conforme a área encolhe mais rapidamente perto da saída (pela forma do D(x) e da dependência v\propto D^{-2}).

Passo 6

Resposta à pergunta (c): poderíamos calcular essa aceleração de outra forma? (explico opções, prós e contras)
Sim — algumas alternativas:
  • Usar a fórmula material que usei, mas calculando numericamente a derivada (diferenças finitas) a partir de valores discretos de v(x) obtidos por ferramenta digital; isso é útil se D(x) não for linear ou a função for conhecida só numericamente. Ex.: aproximar a(x)\approx v(x)\dfrac{\Delta v}{\Delta x}.
  • Usar a equação de Euler (momento de quantidade de movimento sem viscosidade): \rho\bigl(v\cdot\nabla\bigr)v=-\nabla p+\rho\mathbf{g}. Se você tiver a distribuição de pressão, pode calcular a aceleração a partir daí rearranjando; porém precisa conhecer \nabla p. Essa via é necessária quando queremos relacionar aceleração com gradiente de pressão (caso realista em tubos).
  • Calcular aceleração média por cinemática da partícula: primeiro obter o tempo que a partícula leva para ir de x_1 a x_2 (usando t=\int dx/v(x)), e então usar \Delta v/\Delta t. Essa é uma alternativa direta mas exige a integral do inverso de v(x) e dá uma aceleração média, não a local.
  • Se o campo de velocidades fosse experimental ou muito irregular, usar diferenciação numérica ou regressão / ajuste por software (Excel, Python, etc.) para obter dv/dx e então a=v\,dv/dx.
Resumo prático: sim, há outras formas — a que eu fiz (derivada material analítica) é a forma mais direta e exata quando você conhece v(x) analiticamente; Euler/pressão é a alternativa se você tem informações de pressão; diferenças finitas e integrais dão aproximações úteis em prática.

Resposta

(a) v(x)=\frac{16}{\bigl(4-0,2x\bigr)^2}\\ \mathrm{m/s}.
(b) a(10)=3,2\\ \mathrm{m/s^2} (direção: no sentido do escoamento).
(c) Sim. Podemos obter a aceleração por diferenciação numérica de v(x), por \Delta v/\Delta t usando o tempo de trânsito (dá aceleração média), ou relacioná-la ao gradiente de pressão via a equação de Euler \rho(v\cdot\nabla)v=-\nabla p+\rho g se \nabla p for conhecido.

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