(**) A entropia S de um certo objeto (não um sólido de Einstein), em função da energia interna E, é S=b E^{1 / 2}, em que b é uma constante.
(a) Determine a energia interna desse objeto em função da temperatura.
R: E=\left(\frac{b T}{2}\right)^{2}
(b) Qual o calor específico desse objeto em função da temperatura?

Passo 1

O enunciado dá a entropia do objeto em função da energia interna e pede duas coisas:
  • Dado: S = b E^{1/2}, onde b é uma constante.
  • (a) Determinar a energia interna E em função da temperatura T.
  • (b) Determinar o calor específico (capacidade térmica) do objeto em função de T.
Essas são as informações relevantes; agora vamos usar a relação fundamental entre entropia e temperatura para resolver.

Passo 2

A relação termodinâmica que liga entropia e temperatura é a definição de temperatura a partir da entropia:
\frac{1}{T} = \left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{X},
onde T é a temperatura e a derivada é tomada mantendo constantes as outras variáveis de estado (por exemplo, volume). Aqui vamos tratar S como função de E apenas, então usamos a derivada simples. Essa fórmula significa: a inclinação da curva S(E) é o inverso da temperatura.

Passo 3

Calculemos a derivada \dfrac{dS}{dE} para a função dada S = b E^{1/2}. Use regra de potência: se f(E)=E^{n} então f'(E)=n E^{n-1}. Aplicando,
\frac{dS}{dE} = b \cdot \frac{1}{2} E^{-1/2} = \frac{b}{2} E^{-1/2}.

Passo 4

Agora igualamos à expressão \dfrac{1}{T} da definição:
\frac{1}{T} = \frac{b}{2} E^{-1/2}.
Queremos isolar E. Primeiro escrevemos E^{-1/2} explicitamente:
E^{-1/2} = \frac{2}{b}\cdot\frac{1}{T}.
Invertendo ambos os lados para obter E^{1/2},
E^{1/2} = \frac{b}{2}\,T.
Aqui usei a propriedade (E^{-1/2})^{-1} = E^{1/2} e inverti o fator numérico.

Passo 5

Agora elevamos ao quadrado para obter E:
E = \left(\frac{b}{2}\,T\right)^{2} = \frac{b^{2}}{4}\,T^{2}.
Essa é a energia interna como função da temperatura. Observação prática: se você fizer a conta passo a passo numa prova, mostre a igualdade intermediária E^{1/2} = \dfrac{bT}{2} e depois eleve ao quadrado.

Passo 6

O calor específico (capacidade térmica) do objeto é definido como a taxa de variação da energia interna com a temperatura, isto é
C(T)=\frac{dE}{dT}.
Intuitivamente, C(T) diz quanto de energia é preciso para aumentar a temperatura em uma pequena quantidade.

Passo 7

Usamos a expressão E(T)=\dfrac{b^{2}}{4}T^{2} e derivamos em relação a T. A derivada de T^{2} é 2T, então
\frac{dE}{dT} = \frac{b^{2}}{4}\cdot 2T = \frac{b^{2}}{2}\,T.
Portanto o calor específico cresce linearmente com T.

Passo 8

Resumo final e interpretação rápida: a energia cresce como T^{2} e o calor específico é proporcional a T. Isso significa que, à medida que a temperatura sobe, cada grau adicional requer mais energia (porque C aumenta com T). Nada de assustador — só acompanhamento das regras de derivação e inversão algébrica.

Resposta

(a) E=\left(\frac{b T}{2}\right)^{2}
(b) C(T)=\frac{b^{2}}{2}\,T

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