(**) A entropia
de um certo objeto (não um sólido de Einstein), em função da energia interna
, é
, em que
é uma constante.
(a) Determine a energia interna desse objeto em função da temperatura.
R:
(b) Qual o calor específico desse objeto em função da temperatura?
(a) Determine a energia interna desse objeto em função da temperatura.
(b) Qual o calor específico desse objeto em função da temperatura?
Passo 1
O enunciado dá a entropia do objeto em função da energia interna e pede duas coisas:
- Dado:
, onde é uma constante. - (a) Determinar a energia interna
em função da temperatura . - (b) Determinar o calor específico (capacidade térmica) do objeto em função de
.
Essas são as informações relevantes; agora vamos usar a relação fundamental entre entropia e temperatura para resolver.
Passo 2
A relação termodinâmica que liga entropia e temperatura é a definição de temperatura a partir da entropia:
onde
é a temperatura e a derivada é tomada mantendo constantes as outras variáveis de estado (por exemplo, volume). Aqui vamos tratar
como função de
apenas, então usamos a derivada simples. Essa fórmula significa: a inclinação da curva
é o inverso da temperatura.
Passo 3
Calculemos a derivada
para a função dada
. Use regra de potência: se
então
. Aplicando,
Passo 4
Agora igualamos à expressão
da definição:
Queremos isolar
. Primeiro escrevemos
explicitamente:
Invertendo ambos os lados para obter
,
Aqui usei a propriedade
e inverti o fator numérico.
Passo 5
Agora elevamos ao quadrado para obter
:
Essa é a energia interna como função da temperatura. Observação prática: se você fizer a conta passo a passo numa prova, mostre a igualdade intermediária
e depois eleve ao quadrado.
Passo 6
O calor específico (capacidade térmica) do objeto é definido como a taxa de variação da energia interna com a temperatura, isto é
Intuitivamente,
diz quanto de energia é preciso para aumentar a temperatura em uma pequena quantidade.
Passo 7
Usamos a expressão
e derivamos em relação a
. A derivada de
é
, então
Portanto o calor específico cresce linearmente com
.
Passo 8
Resumo final e interpretação rápida: a energia cresce como
e o calor específico é proporcional a
. Isso significa que, à medida que a temperatura sobe, cada grau adicional requer mais energia (porque
aumenta com
). Nada de assustador — só acompanhamento das regras de derivação e inversão algébrica.
Resposta
(a)
(b)
(b)