(**) Em um recipiente isolado, um elemento aquecedor de 100 W e pequena massa aquece uma amostra de 300 g de cobre durante 6 s . A temperatura inicial do cobre era de 20^{\circ} \mathrm{C} (temperatura ambiente). Preveja a temperatura final do cobre, utilizando um calor específico medido por átomo de 3 k_{B}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Potência do aquecedor: 100\\ \mathrm{W}.
  • Massa do cobre: 300\\ \mathrm{g}.
  • Tempo de aquecimento: 6\\ \mathrm{s}.
  • Temperatura inicial do cobre: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico por átomo: 3k_{B} (isto é, cada átomo tem capacidade térmica 3k_{B}).
  • Pedido: prever a temperatura final do cobre após os 6\\ \mathrm{s}, assumindo que o recipiente é isolado e que toda a energia fornecida vai para o cobre.

Passo 2

Energia fornecida pelo aquecedor (fórmula e cálculo).
A energia fornecida Q por um aquecedor com potência P durante tempo t é
Q = P\,t.
Substituindo os valores:
Q = 100\\ \mathrm{W}\times 6\\ \mathrm{s} = 600\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Converter massa em número de átomos (passo a passo e explicação).
Precisamos do número total de átomos N do cobre para usar o calor específico por átomo. Fazemos em duas etapas: número de mols n e depois N=nN_A, onde N_A é o número de Avogadro.
  • Molaridade aproximada do cobre (valor de tabela): M = 63{,}55\\ \mathrm{g/mol}.
  • Número de mols:
n=\frac{m}{M}=\frac{300\\ \mathrm{g}}{63{,}55\\ \mathrm{g/mol}} \approx 4{,}7206\\ \mathrm{mol}.
  • Número de átomos:
N = n\,N_A \quad\text{com}\quad N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
N \approx 4{,}7206\times 6{,}022\times10^{23} \approx 2{,}8439\times10^{24}\\ \text{átomos}.á

Passo 4

Relacionar calor por átomo com capacidade térmica total (explicação física curta e aplicação).
O enunciado dá o calor específico por átomo como 3k_{B}. Isso significa que, para uma pequena variação de temperatura \Delta T, a energia necessária por átomo é 3k_{B}\Delta T. Logo, a capacidade térmica total (calor por variação unitária de temperatura) do conjunto de átomos é
C = N\cdot 3k_{B}.
Observação didática curta: k_{B} é a constante de Boltzmann e 3k_{B} por átomo é a previsão clássica (Dulong–Petit/equipartição) para um sólido 3D.

Passo 5

Calcular numericamente a capacidade térmica total C.
Usando k_{B}=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}:
N k_{B} \approx 2{,}8439\times10^{24}\times 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}
N k_{B} \approx 3{,}9264\times10^{1}\\ \mathrm{J/K}=39{,}264\\ \mathrm{J/K}.
Então
C = 3\,N k_{B} \approx 3\times 39{,}264\\ \mathrm{J/K} \approx 117{,}792\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Calcular a variação de temperatura \Delta T usando Q=C\Delta T.
A relação entre energia fornecida e variação térmica é
\Delta T=\frac{Q}{C}.
Substituindo:
\Delta T \approx \frac{600\\ \mathrm{J}}{117{,}792\\ \mathrm{J/K}} \approx 5{,}0938\\ \mathrm{K}.
Nota: uma variação de temperatura de 1\\ \mathrm{K} corresponde a 1^\circ\mathrm{C}, então podemos somar diretamente em graus Celsius.

Passo 7

Calcular a temperatura final e interpretar o resultado.
Temperatura final:
T_{f}=T_{i}+\Delta T = 20^\circ\mathrm{C} + 5{,}0938\\ \mathrm{K} \approx 25{,}0938^\circ\mathrm{C}.
Em Kelvin:
T_{f}\approx 293{,}15\\ \mathrm{K} + 5{,}0938\\ \mathrm{K} \approx 298{,}2438\\ \mathrm{K}.
Pequena interpretação: o valor obtido é consistente com a estimativa clássica de capacidade térmica de sólidos (molar aproximadamente 3R), então o aquecimento é moderado — só alguns graus em 6 s com 100 W para 300\\ \mathrm{g} de cobre.

Resposta

T_{f}\approx 25{,}09^\circ\mathrm{C}

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