O enunciado a segur é mais geral que o que foi visto em aula e ele inclui limites infinitos ou no infinito. Leia com atenção antes de responder os próximos itens.
Teorema (Limite da Função Composta) Sejam f(x) e g(x) duas funções. Suponha que \lim _{u \rightarrow p} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=p, onde p \in \mathbb{R} \cup\{\infty,-\infty\} e a \in \mathbb{R} \cup {\infty,-\infty}. Suponha que g(x) \neq p quando x esta suficientemente próximo de a, mas x \neq a. Então
\lim _{x \rightarrow a} f \circ g(x)=\lim _{u \rightarrow p} f(u)
Calcule os limites a seguir, usando o Limite da Função Composta:
\lim _{x \rightarrow \infty} \cos \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \rightarrow \infty} \cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)
e nos lembra do Teorema do Limite da Função Composta, que diz que se g(x)\to p quando x\to a e f(u)\to L quando u\to p, então
\lim_{x\to a} f\bigl(g(x)\bigr)=L.

Passo 2

Identificamos
g(x)=\frac{1}{x},\quad f(u)=\cos(u),\quad a=\infty.
Calculamos primeiro
\lim_{x\to\infty}g(x) =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Logo p=0.

Passo 3

Agora avaliamos o limite externo
\lim_{u\to 0}f(u) =\lim_{u\to 0}\cos(u) =\cos(0)=1,
pois a função cosseno é contínua em u=0.

Passo 4

Pelo Teorema da Função Composta, temos
\lim_{x\to\infty}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) =\lim_{u\to 0}\cos(u) =1.

Resposta

1

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