O enunciado a segur é mais geral que o que foi visto em aula e ele inclui limites infinitos ou no infinito. Leia com atenção antes de responder os próximos itens.
Teorema (Limite da Função Composta) Sejam f(x) e g(x) duas funções. Suponha que \lim _{u \rightarrow p} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=p, onde p \in \mathbb{R} \cup\{\infty,-\infty\} e a \in \mathbb{R} \cup {\infty,-\infty}. Suponha que g(x) \neq p quando x esta suficientemente próximo de a, mas x \neq a. Então
\lim _{x \rightarrow a} f \circ g(x)=\lim _{u \rightarrow p} f(u)
Calcule os limites a seguir, usando o Limite da Função Composta:
\lim _{x \rightarrow 3} 3^{\frac{x^{2}-9}{x-3}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to3}3^{\frac{x^2-9}{\,x-3\,}}
e sugere usar o Teorema do Limite da Função Composta. Aqui identificamos
g(x)=\frac{x^2-9}{x-3} \quad\text{e}\quad f(u)=3^u.
Vamos primeiro analisar o limite de g(x) quando x\to3 e depois usar que
\lim_{x\to3}f\bigl(g(x)\bigr) =\lim_{u\to p}f(u),
onde p=\lim_{x\to3}g(x).

Passo 2

Simplificamos g(x) antes de passar ao limite. Note que
x^2-9=(x-3)(x+3),
portanto, para x\neq3,
g(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.

Passo 3

Com a forma simplificada, calculamos
\lim_{x\to3}g(x) =\lim_{x\to3}(x+3) =3+3 =6.
Logo, no teorema, p=6.

Passo 4

Agora definimos f(u)=3^u. Essa função é contínua em todo \mathbb{R}, então
\lim_{u\to6}f(u) =\lim_{u\to6}3^u =3^6.

Passo 5

Pelo Teorema do Limite da Função Composta, concluímos que
\lim_{x\to3}3^{\frac{x^2-9}{x-3}} =\lim_{u\to6}3^u =3^6 =729.

Resposta

729

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