Enuncie o Teorema de Weierstrass. A seguir, encontre os valores máximo e mínimo absolutos de cada função
no intervalo dado:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Enunciar o Teorema de Weierstrass.
- Encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no intervalo .
Informações fornecidas:
- A função é
. - O intervalo fechado é
.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Weierstrass (forma direta e curta):
Seja uma função contínua em um intervalo fechado e limitado
. Então existem pontos
e
em
tais que
Seja
Ou seja, toda função contínua em um intervalo compacto atinge seu mínimo e seu máximo absolutos nesse intervalo.
Explicação didática rápida do porquê esse teorema é útil aqui:
- Polinômios são funções contínuas em toda a reta, então a hipótese do teorema está satisfeita para
em . - Consequência prática: o máximo e o mínimo absolutos existem e ocorrem ou em pontos críticos (onde
ou não existe) no interior do intervalo, ou em um dos extremos do intervalo ou . Portanto, a estratégia é: achar pontos críticos no interior e comparar os valores de nesses pontos e nos extremos.
Passo 3
Regra prática para resolver (resumo do método que será aplicado):
- Calcular a derivada
. - Resolver
para obter pontos críticos interiores. - Avaliar
em todos os pontos candidatos: pontos críticos que pertençam a e os extremos e . - O maior desses valores será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
Vou aplicar esse método passo a passo.
Passo 4
Calcular a derivada
. Usando a regra do poder (derivada de
é
):
Passo 5
Resolver
. Coloco
em forma fatorada para resolver facilmente:
Portanto
Resolvendo
obtemos
Logo os pontos críticos são
.
Passo 6
Verificar quais pontos críticos pertencem ao intervalo
:
-
está em . -
está em . -
está em .
Portanto todos os três pontos críticos devem ser considerados, além dos extremos
e
.
Passo 7
Avaliar
nos pontos candidatos. Antes de calcular várias vezes, faço uma reescrita útil que facilita as contas:
Coloco
para ver a forma em
:
Voltando a
,
Essa forma mostra imediatamente que
para todo
, e que
quando
, ou seja, em
. Agora os cálculos:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Resumo das avaliações:
Passo 8
Comparar os valores encontrados:
- O menor valor entre
é . Esse valor ocorre em e em . - O maior valor entre
é . Esse valor ocorre em .
Conclusão: mínimo absoluto de
em
é
atingido em
; máximo absoluto é
atingido em
.
Força aí — foi trabalho, mas o caminho é sempre o mesmo: derivada, pontos críticos, avaliar e comparar. Você já consegue aplicar isso em outros polinômios parecidos!
Resposta
Teorema de Weierstrass: Se
é contínua em
, então existem
tais que
e
.
Mínimo absoluto:
em
.
Máximo absoluto:
em
.