Enuncie o Teorema de Weierstrass. A seguir, encontre os valores máximo e mínimo absolutos de cada função f no intervalo dado:
f(x)=x^{4}-4 x^{2}+2[-3 ; 2]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Enunciar o Teorema de Weierstrass.
  • Encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x)=x^{4}-4x^{2}+2 no intervalo [-3,2].
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{4}-4x^{2}+2.
  • O intervalo fechado é [-3,2].

Passo 2

Enunciado do Teorema de Weierstrass (forma direta e curta):
Seja f uma função contínua em um intervalo fechado e limitado [a,b]. Então existem pontos x_{\min} e x_{\max} em [a,b] tais que
f(x_{\min})=\min_{x\in[a,b]} f(x) \qquad\text{e}\qquad f(x_{\max})=\max_{x\in[a,b]} f(x).
Ou seja, toda função contínua em um intervalo compacto atinge seu mínimo e seu máximo absolutos nesse intervalo.
Explicação didática rápida do porquê esse teorema é útil aqui:
  • Polinômios são funções contínuas em toda a reta, então a hipótese do teorema está satisfeita para f em [-3,2].
  • Consequência prática: o máximo e o mínimo absolutos existem e ocorrem ou em pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe) no interior do intervalo, ou em um dos extremos do intervalo (x=-3 ou x=2). Portanto, a estratégia é: achar pontos críticos no interior e comparar os valores de f nesses pontos e nos extremos.

Passo 3

Regra prática para resolver (resumo do método que será aplicado):
  1. Calcular a derivada f'(x).
  2. Resolver f'(x)=0 para obter pontos críticos interiores.
  3. Avaliar f em todos os pontos candidatos: pontos críticos que pertençam a [-3,2] e os extremos x=-3 e x=2.
  4. O maior desses valores será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
Vou aplicar esse método passo a passo.

Passo 4

Calcular a derivada f'(x). Usando a regra do poder (derivada de x^n é n x^{n-1}):
f(x)=x^{4}-4x^{2}+2
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)-4\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}(2)
f'(x)=4x^{3}-8x+0
\boxed{f'(x)=4x^{3}-8x}

Passo 5

Resolver f'(x)=0. Coloco f'(x) em forma fatorada para resolver facilmente:
f'(x)=4x^{3}-8x=4x(x^{2}-2).
Portanto
4x(x^{2}-2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x^{2}-2=0.
Resolvendo x^{2}-2=0 obtemos
x^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
Logo os pontos críticos são x=-\sqrt{2},\,0,\,\sqrt{2}.

Passo 6

Verificar quais pontos críticos pertencem ao intervalo [-3,2]:
  • -\sqrt{2}\approx -1,4142 está em [-3,2].
  • 0 está em [-3,2].
  • \sqrt{2}\approx 1,4142 está em [-3,2].
Portanto todos os três pontos críticos devem ser considerados, além dos extremos x=-3 e x=2.

Passo 7

Avaliar f nos pontos candidatos. Antes de calcular várias vezes, faço uma reescrita útil que facilita as contas:
f(x)=x^{4}-4x^{2}+2.
Coloco y=x^{2} para ver a forma em y:
f(x)=y^{2}-4y+2=(y-2)^{2}-2.
Voltando a x,
\boxed{f(x)=(x^{2}-2)^{2}-2.}
Essa forma mostra imediatamente que f(x)\ge -2 para todo x, e que f(x)=-2 quando x^{2}-2=0, ou seja, em x=\pm\sqrt{2}. Agora os cálculos:
  • Em x=-\sqrt{2}:
f(-\sqrt{2})=( (\sqrt{2})^{2}-2)^{2}-2=(2-2)^{2}-2=0-2=-2.
  • Em x=\sqrt{2}:
f(\sqrt{2})=( (\sqrt{2})^{2}-2)^{2}-2=(2-2)^{2}-2=-2.
  • Em x=0:
f(0)=(0^{2}-2)^{2}-2=( -2)^{2}-2=4-2=2.
  • Em x=2:
f(2)=(2^{2}-2)^{2}-2=(4-2)^{2}-2=2^{2}-2=4-2=2.
  • Em x=-3:
f(-3)=((-3)^{2}-2)^{2}-2=(9-2)^{2}-2=7^{2}-2=49-2=47.
Resumo das avaliações:
f(-\sqrt{2})=-2,\quad f(\sqrt{2})=-2,\quad f(0)=2,\quad f(2)=2,\quad f(-3)=47.

Passo 8

Comparar os valores encontrados:
  • O menor valor entre -2,2,47 é -2. Esse valor ocorre em x=-\sqrt{2} e em x=\sqrt{2}.
  • O maior valor entre -2,2,47 é 47. Esse valor ocorre em x=-3.
Conclusão: mínimo absoluto de f em [-3,2] é -2 atingido em x=\pm\sqrt{2}; máximo absoluto é 47 atingido em x=-3.
Força aí — foi trabalho, mas o caminho é sempre o mesmo: derivada, pontos críticos, avaliar e comparar. Você já consegue aplicar isso em outros polinômios parecidos!

Resposta

Teorema de Weierstrass: Se f é contínua em [a,b], então existem x_{\min},x_{\max}\in[a,b] tais que f(x_{\min})=\min_{x\in[a,b]}f(x) e f(x_{\max})=\max_{x\in[a,b]}f(x).
Mínimo absoluto: f_{\min}=-2 em x=\pm\sqrt{2}.
Máximo absoluto: f_{\max}=47 em x=-3.

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