Enuncie o Teorema de Weierstrass. A seguir, encontre os valores máximo e mínimo absolutos de cada função
no intervalo dado:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Enunciar o Teorema de Weierstrass.
- Encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no intervalo dado.
As informações fornecidas são:
- A função
é
- O intervalo é
.
Portanto: primeiro escrever o Teorema de Weierstrass; em seguida determinar o máximo e o mínimo absolutos de
em
.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Weierstrass (forma usual, em linguagem clara):
Seja uma função contínua definida num intervalo fechado e limitado
. Então existem pontos
e
em
tais que, para todo
,
Seja
Em outras palavras,
atinge um valor mínimo absoluto e um valor máximo absoluto em
.
Comentário rápido e útil: o teorema diz que, com continuidade e intervalo fechado/limitado, nunca vamos ficar procurando um mínimo ou máximo que não exista — eles existem e ocorrem ou em pontos críticos (onde
ou
não existe) ou nas extremidades
e
.
Passo 3
Verificar as hipóteses do teorema para a nossa função:
-
é um polinômio (de grau 2). Polinômios são contínuos em todo . - O intervalo
é fechado e limitado.
Portanto, pelas hipóteses do Teorema de Weierstrass,
assume um mínimo e um máximo absolutos em algum(s) ponto(s) de
. Agora vamos achar esses pontos.
Passo 4
Encontrar candidatos a extremos:
- Regra prática: os candidatos são os pontos críticos internos (onde
ou não existe) e os pontos extremos do intervalo e . - Primeiro calculamos a derivada de
. Lembrete rápido (regra que usei): a derivada de é ; derivada de uma constante é ; multiplicadores saem da derivada.
Calculemos termozinho a termozinho:
Logo,
Resolver
:
Observação:
existe para todo
(é um polinômio), então não há pontos onde a derivada deixe de existir.
Portanto os candidatos são
(ponto crítico interno) e as extremidades
e
.
Passo 5
Avaliar
nos candidatos (faça as contas com calma na prova — aqui mostro passo a passo):
Avaliar em
:
Avaliar em
:
Calcule em duas etapas:
, depois
. Portanto
.
Avaliar em
:
Calcule:
, depois
. Portanto
.
Passo 6
Comparar os valores obtidos:
-
, -
, -
.
O menor valor entre esses é
(em
). O maior valor é
(em
).
Como verificamos os candidatos necessários (ponto crítico interior e extremos do intervalo) e pela continuidade do polinômio não há outros candidatos, concluímos que:
- mínimo absoluto é
em ; - máximo absoluto é
em .
Dica extra rápida (útil na prova): também se quiser confirmar a natureza do ponto crítico, calcule a segunda derivada:
que é positiva, indicando que
é um mínimo local — e como é menor que os valores nas extremidades, é o mínimo absoluto.
Força aí — fez certinho, é só decorar o passo a passo: 1) verificar continuidade + intervalo fechado, 2) achar pontos críticos (derivada), 3) avaliar críticos e extremos, 4) comparar.
Resposta
Mínimo absoluto:
em
Máximo absoluto: em
Máximo absoluto: