Enuncie o Teorema de Weierstrass. A seguir, encontre os valores máximo e mínimo absolutos de cada função f no intervalo dado:
f(x)=3 x^{2}-12 x+5[0 ; 3]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Enunciar o Teorema de Weierstrass.
  • Encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função f no intervalo dado.
As informações fornecidas são:
  • A função f é
f(x)=3x^{2}-12x+5.
  • O intervalo é [0;3].
Portanto: primeiro escrever o Teorema de Weierstrass; em seguida determinar o máximo e o mínimo absolutos de f em [0;3].

Passo 2

Enunciado do Teorema de Weierstrass (forma usual, em linguagem clara):
Seja f uma função contínua definida num intervalo fechado e limitado [a,b]. Então existem pontos x_{\min} e x_{\max} em [a,b] tais que, para todo x\in[a,b],
f(x_{\min})\le f(x)\le f(x_{\max}).
Em outras palavras, f atinge um valor mínimo absoluto e um valor máximo absoluto em [a,b].
Comentário rápido e útil: o teorema diz que, com continuidade e intervalo fechado/limitado, nunca vamos ficar procurando um mínimo ou máximo que não exista — eles existem e ocorrem ou em pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe) ou nas extremidades a e b.

Passo 3

Verificar as hipóteses do teorema para a nossa função:
  • f é um polinômio (de grau 2). Polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}.
  • O intervalo [0;3] é fechado e limitado.
Portanto, pelas hipóteses do Teorema de Weierstrass, f assume um mínimo e um máximo absolutos em algum(s) ponto(s) de [0;3]. Agora vamos achar esses pontos.

Passo 4

Encontrar candidatos a extremos:
  • Regra prática: os candidatos são os pontos críticos internos (onde f'(x)=0 ou f' não existe) e os pontos extremos do intervalo x=0 e x=3.
  • Primeiro calculamos a derivada de f. Lembrete rápido (regra que usei): a derivada de x^n é n x^{n-1}; derivada de uma constante é 0; multiplicadores saem da derivada.
Calculemos termozinho a termozinho:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot 2x=6x,
\frac{d}{dx}\bigl(-12x\bigr)=-12,
\frac{d}{dx}(5)=0.
Logo,
f'(x)=6x-12.
Resolver f'(x)=0:
6x-12=0 \quad\Rightarrow\quad 6x=12 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Observação: f' existe para todo x (é um polinômio), então não há pontos onde a derivada deixe de existir.
Portanto os candidatos são x=2 (ponto crítico interno) e as extremidades x=0 e x=3.

Passo 5

Avaliar f nos candidatos (faça as contas com calma na prova — aqui mostro passo a passo):
Avaliar em x=0:
f(0)=3\cdot 0^{2}-12\cdot 0+5=0-0+5=5.
Avaliar em x=2:
f(2)=3\cdot 2^{2}-12\cdot 2+5=3\cdot 4-24+5=12-24+5.
Calcule em duas etapas: 12-24=-12, depois -12+5=-7. Portanto f(2)=-7.
Avaliar em x=3:
f(3)=3\cdot 3^{2}-12\cdot 3+5=3\cdot 9-36+5=27-36+5.
Calcule: 27-36=-9, depois -9+5=-4. Portanto f(3)=-4.

Passo 6

Comparar os valores obtidos:
  • f(0)=5,
  • f(2)=-7,
  • f(3)=-4.
O menor valor entre esses é -7 (em x=2). O maior valor é 5 (em x=0).
Como verificamos os candidatos necessários (ponto crítico interior e extremos do intervalo) e pela continuidade do polinômio não há outros candidatos, concluímos que:
  • mínimo absoluto é f(2)=-7 em x=2;
  • máximo absoluto é f(0)=5 em x=0.
Dica extra rápida (útil na prova): também se quiser confirmar a natureza do ponto crítico, calcule a segunda derivada:
f''(x)=6,
que é positiva, indicando que x=2 é um mínimo local — e como é menor que os valores nas extremidades, é o mínimo absoluto.
Força aí — fez certinho, é só decorar o passo a passo: 1) verificar continuidade + intervalo fechado, 2) achar pontos críticos (derivada), 3) avaliar críticos e extremos, 4) comparar.

Resposta

Mínimo absoluto: f(2)=-7 em x=2
Máximo absoluto: f(0)=5 em x=0

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