EP1.6. Transforme em coordenadas cilíndricas:
Forneça os componentes cartesianos do vetor \mathbf{H}=20 \mathbf{a}_{\rho}-10 \mathbf{a}_{\varphi}+3 \mathbf{a}_{z} em P(x=5, y=2, z=-1).

Passo 1

O enunciado fornece o vetor escrito em coordenadas cilíndricas e um ponto em coordenadas cartesianas. O que temos e o que é pedido:
  • Vetor dado: \mathbf{H}=20\,\mathbf{a}_{\rho}-10\,\mathbf{a}_{\varphi}+3\,\mathbf{a}_{z}. Ou seja, os componentes na base cilíndrica são:
    • H_{\rho}=20,
    • H_{\varphi}=-10,
    • H_{z}=3.
  • Ponto onde os componentes cartesianos são solicitados: P(x=5,\;y=2,\;z=-1).
  • Pedido: fornecer os componentes do mesmo vetor \mathbf{H} na base cartesiana \{\mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z\} avaliados no ponto P.

Passo 2

Primeiro, lembrar as relações entre os versores cilíndricos e os versores cartesianos (essas fórmulas valem para qualquer ponto, mas dependem do ângulo \varphi do ponto):
\mathbf{a}_{\rho}=\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\sin\varphi\,\mathbf{a}_y,
\mathbf{a}_{\varphi}=-\sin\varphi\,\mathbf{a}_x+\cos\varphi\,\mathbf{a}_y,
\mathbf{a}_{z}=\mathbf{a}_z.
Explicação curta e intuitiva: \mathbf{a}_{\rho} aponta radialmente para fora no plano xy no ângulo \varphi medido a partir do eixo x, logo suas componentes no plano xy são \cos\varphi e \sin\varphi. \mathbf{a}_{\varphi} é obtido girando \mathbf{a}_{\rho} em +90^\circ no plano xy, o que dá o par -\sin\varphi,\;\cos\varphi. Essas fórmulas são as que vamos usar para transformar as componentes.

Passo 3

Calcular o ângulo \varphi indiretamente usando x e y. É prático usar \cos\varphi=x/\rho e \sin\varphi=y/\rho, onde \rho=\sqrt{x^2+y^2}.
  • Primeiro \rho no ponto P:
\rho=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}.
  • Portanto
\cos\varphi=\frac{x}{\rho}=\frac{5}{\sqrt{29}},\qquad \sin\varphi=\frac{y}{\rho}=\frac{2}{\sqrt{29}}.

Passo 4

Escrever \mathbf{H} em componentes cartesianas usando a decomposição \mathbf{H}=H_{\rho}\mathbf{a}_{\rho}+H_{\varphi}\mathbf{a}_{\varphi}+H_{z}\mathbf{a}_{z} e as relações dos versores:
\mathbf{H}= H_{\rho}(\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\sin\varphi\,\mathbf{a}_y) +H_{\varphi}(-\sin\varphi\,\mathbf{a}_x+\cos\varphi\,\mathbf{a}_y) +H_{z}\,\mathbf{a}_z.
Agrupando as componentes em \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z obtemos as fórmulas:
H_x = H_{\rho}\cos\varphi - H_{\varphi}\sin\varphi,
H_y = H_{\rho}\sin\varphi + H_{\varphi}\cos\varphi,
H_z = H_{z}.
Agora substituímos os valores numéricos H_{\rho}=20,\;H_{\varphi}=-10,\;H_{z}=3 e \cos\varphi,\sin\varphi calculados no passo anterior:
  • Componente x:
H_x = 20\cdot\frac{5}{\sqrt{29}} - (-10)\cdot\frac{2}{\sqrt{29}} = \frac{100}{\sqrt{29}} + \frac{20}{\sqrt{29}} = \frac{120}{\sqrt{29}}.
  • Componente y:
H_y = 20\cdot\frac{2}{\sqrt{29}} + (-10)\cdot\frac{5}{\sqrt{29}} = \frac{40}{\sqrt{29}} - \frac{50}{\sqrt{29}} = -\frac{10}{\sqrt{29}}.
  • Componente z:
H_z = 3.

Passo 5

Interpretação final (rapidamente): o vetor em base cartesiana no ponto P é
\mathbf{H}=\frac{120}{\sqrt{29}}\,\mathbf{a}_x-\frac{10}{\sqrt{29}}\,\mathbf{a}_y+3\,\mathbf{a}_z.
Se for preciso, dá para calcular aproximações decimais: \dfrac{120}{\sqrt{29}}\approx22,27 e -\dfrac{10}{\sqrt{29}}\approx-1,86, mas a forma exata com \sqrt{29} é preferível em provas.

Resposta

\mathbf{H}=\dfrac{120}{\sqrt{29}}\,\mathbf{a}_x-\dfrac{10}{\sqrt{29}}\,\mathbf{a}_y+3\,\mathbf{a}_z

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