EP1.6. Transforme em coordenadas cilíndricas:
Forneça os componentes cartesianos do vetor
em
.
Forneça os componentes cartesianos do vetor
Passo 1
O enunciado fornece o vetor escrito em coordenadas cilíndricas e um ponto em coordenadas cartesianas. O que temos e o que é pedido:
- Vetor dado:
. Ou seja, os componentes na base cilíndrica são: -
, -
, -
.
-
- Ponto onde os componentes cartesianos são solicitados:
. - Pedido: fornecer os componentes do mesmo vetor
na base cartesiana avaliados no ponto .
Passo 2
Primeiro, lembrar as relações entre os versores cilíndricos e os versores cartesianos (essas fórmulas valem para qualquer ponto, mas dependem do ângulo
do ponto):
Explicação curta e intuitiva:
aponta radialmente para fora no plano
no ângulo
medido a partir do eixo
, logo suas componentes no plano
são
e
.
é obtido girando
em
no plano
, o que dá o par
. Essas fórmulas são as que vamos usar para transformar as componentes.
Passo 3
Calcular o ângulo
indiretamente usando
e
. É prático usar
e
, onde
.
- Primeiro
no ponto :
- Portanto
Passo 4
Escrever
em componentes cartesianas usando a decomposição
e as relações dos versores:
Agrupando as componentes em
obtemos as fórmulas:
Agora substituímos os valores numéricos
e
calculados no passo anterior:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 5
Interpretação final (rapidamente): o vetor em base cartesiana no ponto
é
Se for preciso, dá para calcular aproximações decimais:
e
, mas a forma exata com
é preferível em provas.