Simplifique as seguintes expressões:
Y=(\bar{A}+B)(A+B)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão booleana
Y=(\bar{A}+B)(A+B).
Informações dadas:
  • A expressão já está escrita em termos de variáveis booleanas A e B.
  • Os operadores são + (OR), justaposição ou ponto para AND, e \bar{\cdot} para negação (NOT).
    O objetivo é reduzir essa expressão à forma mais simples possível, usando identidades da álgebra booleana.

Passo 2

Rápida revisão das identidades básicas que vou usar (cada linha é uma regra; explico com uma frase curta):
  • identidade do OR e AND: X+0 = X,\qquad X\cdot 1 = X.Significa que somar com zero não muda o valor; multiplicar por 1 também não.
  • idempotência: X+X = X,\qquad X\cdot X = X.Repetir a mesma variável não altera.
  • complemento: X+\bar{X} = 1,\qquad X\cdot\bar{X} = 0.Uma variável OU seu complemento é sempre 1; AND deles é 0.
  • distributiva (para expandir produtos de somas): (X+Y)Z = XZ + YZ.Serve para multiplicar um parêntese por uma variável ou outro parêntese.
  • absorção (muito útil): X + X Y = X.Porque se X=1 o lado direito é 1; se X=0 o lado direito é 0 — então é igual a X.
Vou aplicar essas identidades passo a passo para não pular nada.

Passo 3

Aplicar a distributiva para começar a simplificar. Primeiro multiplico o segundo parêntese por cada termo do primeiro:
Y=(\bar{A}+B)(A+B) = (\bar{A}+B)A + (\bar{A}+B)B.

Passo 4

Agora aplico distributiva dentro de cada parcela:
(\bar{A}+B)A = \bar{A}A + BA, \qquad (\bar{A}+B)B = \bar{A}B + BB.
Então, somando as duas parcelas:
Y = \bar{A}A + BA + \bar{A}B + BB.

Passo 5

Simplifico termo a termo usando as identidades do Passo 2:
  • \bar{A}A = 0 pela regra do complemento.
  • BB = B pela idempotência.
    Portanto
Y = 0 + BA + \bar{A}B + B.

Passo 6

Reorganizo e fatoro B (uso comutatividade BA=AB e distributiva inversa):
Y = BA + \bar{A}B + B = B A + B\bar{A} + B = B(A + \bar{A} + 1).
Explicação: escrevi B como B\cdot 1 para mostrar que todas as parcelas têm fator B, então extraí B como fator comum.

Passo 7

Uso as identidades dentro do parêntese:
  • A + \bar{A} = 1 (complemento).
  • Em álgebra booleana 1 + 1 = 1.
    Logo A + \bar{A} + 1 = 1, e a expressão dentro do parêntese é 1. Assim a parte interna fica B\cdot 1.

Resposta

Y=B

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