Simplifique as seguintes expressões:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão booleana
Informações dadas:
- A expressão já está escrita em termos de variáveis booleanas
e . - Os operadores são
(OR), justaposição ou ponto para AND, e para negação (NOT).
O objetivo é reduzir essa expressão à forma mais simples possível, usando identidades da álgebra booleana.
Passo 2
Rápida revisão das identidades básicas que vou usar (cada linha é uma regra; explico com uma frase curta):
- identidade do OR e AND:
Significa que somar com zero não muda o valor; multiplicar por 1 também não. - idempotência:
Repetir a mesma variável não altera. - complemento:
Uma variável OU seu complemento é sempre 1; AND deles é 0. - distributiva (para expandir produtos de somas):
Serve para multiplicar um parêntese por uma variável ou outro parêntese. - absorção (muito útil):
Porque se o lado direito é 1; se o lado direito é 0 — então é igual a .
Vou aplicar essas identidades passo a passo para não pular nada.
Passo 3
Aplicar a distributiva para começar a simplificar. Primeiro multiplico o segundo parêntese por cada termo do primeiro:
Passo 4
Agora aplico distributiva dentro de cada parcela:
Então, somando as duas parcelas:
Passo 5
Simplifico termo a termo usando as identidades do Passo 2:
-
pela regra do complemento. -
pela idempotência.
Portanto
Passo 6
Reorganizo e fatoro
(uso comutatividade
e distributiva inversa):
Explicação: escrevi
como
para mostrar que todas as parcelas têm fator
, então extraí
como fator comum.
Passo 7
Uso as identidades dentro do parêntese:
-
(complemento). - Em álgebra booleana
.
Logo, e a expressão dentro do parêntese é . Assim a parte interna fica .