EP1.8. Transforme os seguintes vetores em coordenadas esféricas nos pontos dados:
em
.
Passo 1
O que o exercício pede e o que nos dá.
- Pedido: transformar o vetor
para coordenadas esféricas avaliadas no ponto . - Informações dadas:
- O vetor em base cartesiana é
. - O ponto onde a base esférica deve ser avaliada é
com coordenadas cartesianas .
- O vetor em base cartesiana é
Nenhuma outra informação foi pedida; a tarefa é escrever o mesmo vetor usando os versores esféricos
no ponto
.
Passo 2
Definição das coordenadas esféricas e cálculo de
no ponto
.
- Convenção que vamos usar (a mais comum em física/eng.):
Aqui: -
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo polar (ângulo entre o raio vetor e o eixo , ), -
é o ângulo azimutal no plano medido a partir do eixo ( ).
-
Calculamos primeiro
:
Calculamos
usando
:
Calculamos
usando as projeções no plano
. Seja
. Então
Como
e
,
está no segundo quadrante:
. Não precisamos do valor numérico explícito para o procedimento; as relações acima bastam.
Passo 3
Expressão dos versores esféricos em termos dos versores cartesianoss e interpretação.
As relações entre versores são:
Explicação rápida: qualquer vetor fixo no espaço pode ser escrito tanto na base
quanto na base
. Como
dependem de
, primeiro precisamos das coordenadas do ponto para avaliar esses versores naquele ponto.
Passo 4
Método de conversão: projeção por produto escalar.
Se
, suas componentes na base esférica são obtidas projetando
nos versores esféricos:
e então
Como
, basta calcular os produtos escalares
,
,
e multiplicar por
.
Passo 5
Cálculo das projeções usando as fórmulas dos versores e as coordenadas do ponto.
Usando as expressões dos versores:
Substituindo os valores do ponto
(lembrando
e
) fica mais prático escrever algumas relações úteis:
Agora multiplicamos por
:
Se quiser, aproximações numéricas (apenas para referência):
Passo 6
Escrevendo o vetor na base esférica no ponto
.
Com as componentes encontradas:
Isto é a expressão final do vetor
na base esférica avaliada em
.