EP1.8. Transforme os seguintes vetores em coordenadas esféricas nos pontos dados:
10 \mathbf{a}_{x} em P(x=-3, y=2, z=4).

Passo 1

O que o exercício pede e o que nos dá.
  • Pedido: transformar o vetor 10\mathbf{a}_x para coordenadas esféricas avaliadas no ponto P.
  • Informações dadas:
    • O vetor em base cartesiana é \;10\mathbf{a}_x\;.
    • O ponto onde a base esférica deve ser avaliada é P com coordenadas cartesianas \;x=-3,\;y=2,\;z=4\;.
Nenhuma outra informação foi pedida; a tarefa é escrever o mesmo vetor usando os versores esféricos \mathbf{a}_r,\mathbf{a}_\theta,\mathbf{a}_\varphi no ponto P.

Passo 2

Definição das coordenadas esféricas e cálculo de \;r,\theta,\varphi\; no ponto P.
  • Convenção que vamos usar (a mais comum em física/eng.): x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta.Aqui:
    • r é a distância do ponto à origem,
    • \theta é o ângulo polar (ângulo entre o raio vetor e o eixo z, 0\le\theta\le\pi),
    • \varphi é o ângulo azimutal no plano xy medido a partir do eixo x ( 0\le\varphi<2\pi).
Calculamos primeiro r:
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{(-3)^2+2^2+4^2}=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}.
Calculamos \theta usando \cos\theta = z/r:
\cos\theta=\frac{z}{r}=\frac{4}{\sqrt{29}},\qquad \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{4}{\sqrt{29}}\right).
Calculamos \varphi usando as projeções no plano xy. Seja \rho=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{13}. Então
\cos\varphi=\frac{x}{\rho}=\frac{-3}{\sqrt{13}},\qquad \sin\varphi=\frac{y}{\rho}=\frac{2}{\sqrt{13}}.
Como x<0 e y>0, \varphi está no segundo quadrante: \varphi=\pi-\arctan\!\left(\frac{2}{3}\right). Não precisamos do valor numérico explícito para o procedimento; as relações acima bastam.

Passo 3

Expressão dos versores esféricos em termos dos versores cartesianoss e interpretação.
As relações entre versores são:
\mathbf{a}_r=\sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\sin\theta\sin\varphi\,\mathbf{a}_y+\cos\theta\,\mathbf{a}_z,
\mathbf{a}_\theta=\cos\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\cos\theta\sin\varphi\,\mathbf{a}_y-\sin\theta\,\mathbf{a}_z,
\mathbf{a}_\varphi=-\sin\varphi\,\mathbf{a}_x+\cos\varphi\,\mathbf{a}_y.
Explicação rápida: qualquer vetor fixo no espaço pode ser escrito tanto na base (\mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z) quanto na base (\mathbf{a}_r,\mathbf{a}_\theta,\mathbf{a}_\varphi). Como \mathbf{a}_r,\mathbf{a}_\theta,\mathbf{a}_\varphi dependem de \theta,\varphi, primeiro precisamos das coordenadas do ponto para avaliar esses versores naquele ponto.

Passo 4

Método de conversão: projeção por produto escalar.
Se \mathbf{V}=10\mathbf{a}_x, suas componentes na base esférica são obtidas projetando \mathbf{V} nos versores esféricos:
V_r=\mathbf{V}\cdot\mathbf{a}_r,\qquad V_\theta=\mathbf{V}\cdot\mathbf{a}_\theta,\qquad V_\varphi=\mathbf{V}\cdot\mathbf{a}_\varphi,
e então
\mathbf{V}=V_r\,\mathbf{a}_r+V_\theta\,\mathbf{a}_\theta+V_\varphi\,\mathbf{a}_\varphi.
Como \mathbf{V}=10\mathbf{a}_x, basta calcular os produtos escalares \mathbf{a}_x\cdot\mathbf{a}_r, \mathbf{a}_x\cdot\mathbf{a}_\theta, \mathbf{a}_x\cdot\mathbf{a}_\varphi e multiplicar por 10.

Passo 5

Cálculo das projeções usando as fórmulas dos versores e as coordenadas do ponto.
Usando as expressões dos versores:
\mathbf{a}_x\cdot\mathbf{a}_r=\sin\theta\cos\varphi=\frac{x}{r},
\mathbf{a}_x\cdot\mathbf{a}_\theta=\cos\theta\cos\varphi,
\mathbf{a}_x\cdot\mathbf{a}_\varphi=-\sin\varphi.
Substituindo os valores do ponto P (lembrando \rho=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{13} e r=\sqrt{29}) fica mais prático escrever algumas relações úteis:
\sin\theta\cos\varphi=\frac{x}{r}=\frac{-3}{\sqrt{29}},
\cos\theta\cos\varphi=\frac{xz}{r\rho}=\frac{(-3)\cdot 4}{\sqrt{29}\,\sqrt{13}}=-\frac{12}{\sqrt{377}},
\sin\varphi=\frac{y}{\rho}=\frac{2}{\sqrt{13}}.
Agora multiplicamos por 10:
V_r=10\bigl(\mathbf{a}_x\cdot\mathbf{a}_r\bigr)=10\cdot\left(-\frac{3}{\sqrt{29}}\right)=-\frac{30}{\sqrt{29}},
V_\theta=10\bigl(\mathbf{a}_x\cdot\mathbf{a}_\theta\bigr)=10\cdot\left(-\frac{12}{\sqrt{377}}\right)=-\frac{120}{\sqrt{377}},
V_\varphi=10\bigl(\mathbf{a}_x\cdot\mathbf{a}_\varphi\bigr)=10\cdot\left(-\frac{2}{\sqrt{13}}\right)=-\frac{20}{\sqrt{13}}.
Se quiser, aproximações numéricas (apenas para referência):
V_r\approx -5{,}441,\qquad V_\theta\approx -6{,}183,\qquad V_\varphi\approx -5{,}547.

Passo 6

Escrevendo o vetor na base esférica no ponto P.
Com as componentes encontradas:
10\mathbf{a}_x = -\frac{30}{\sqrt{29}}\,\mathbf{a}_r \;-\;\frac{120}{\sqrt{377}}\,\mathbf{a}_\theta \;-\;\frac{20}{\sqrt{13}}\,\mathbf{a}_\varphi.
Isto é a expressão final do vetor 10\mathbf{a}_x na base esférica avaliada em P(x=-3,y=2,z=4).

Resposta

10\mathbf{a}_x = -\frac{30}{\sqrt{29}}\,\mathbf{a}_r - \frac{120}{\sqrt{377}}\,\mathbf{a}_\theta - \frac{20}{\sqrt{13}}\,\mathbf{a}_\varphi

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