A equação abaixo descreve o torque de operação de um relé diferencial percentual. Considerando o limiar de atuação, ou seja, condição de torque nulo, encontre matematicamente o lugar geométrico que descreva a região de operação desse relé.
T_{87}=k_{1}\left(I_{1}-I_{2}\right)^{2}-k_{2}\left(\frac{I_{1}+I_{2}}{2}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá o torque de um relé diferencial percentual
T_{87}=k_{1}\bigl(I_{1}-I_{2}\bigr)^{2}-k_{2}\Bigl(\frac{I_{1}+I_{2}}{2}\Bigr)^{2}
e pede o lugar geométrico onde T_{87}=0, ou seja, a fronteira em que o relé está no limiar de atuação. Vamos usar álgebra para manipular essa igualdade e obter a relação entre I_{1} e I_{2}.

Passo 2

Impondo a condição de torque nulo, escrevemos
k_{1}\bigl(I_{1}-I_{2}\bigr)^{2} \;=\; k_{2}\Bigl(\frac{I_{1}+I_{2}}{2}\Bigr)^{2}.
Multiplicamos ambos os lados por 4 e dividimos por k_{1}, obtendo
4\bigl(I_{1}-I_{2}\bigr)^{2} \;=\; \frac{k_{2}}{k_{1}}\,(I_{1}+I_{2})^{2}.
Logo,
\frac{\bigl(I_{1}-I_{2}\bigr)^{2}}{(I_{1}+I_{2})^{2}} \;=\; \frac{k_{2}}{4\,k_{1}}.

Passo 3

Tomando raiz quadrada em ambos os lados, temos duas possibilidades de sinal:
\frac{I_{1}-I_{2}}{I_{1}+I_{2}} =\pm\sqrt{\frac{k_{2}}{4\,k_{1}}} =\pm a,
onde definimos a=\sqrt{\tfrac{k_{2}}{4\,k_{1}}}. Isso é uma equação linear em I_{1} e I_{2}.

Passo 4

Isolamos a razão m=I_{2}/I_{1}. Supondo I_{1}\neq0, escrevemos
\frac{1-m}{1+m}=\pm a \;\Longrightarrow\; 1-m=\pm a\,(1+m).
Resolvendo para m, obtemos as duas retas que formam o limiar:
m_{1}=\frac{1 - a}{1 + a}, \qquad m_{2}=\frac{1 + a}{1 - a},
isto é,
I_{2}=m_{1}\,I_{1} \quad\text{ou}\quad I_{2}=m_{2}\,I_{1}.

Passo 5

Concluímos que o lugar geométrico onde o torque é zero consiste em duas retas que passam pela origem, com declividades
m_{1}=\frac{1 - \sqrt{\tfrac{k_{2}}{4\,k_{1}}}}{1 + \sqrt{\tfrac{k_{2}}{4\,k_{1}}}} \quad\text{e}\quad m_{2}=\frac{1 + \sqrt{\tfrac{k_{2}}{4\,k_{1}}}}{1 - \sqrt{\tfrac{k_{2}}{4\,k_{1}}}}.
Entre essas duas linhas fica a região de operação do relé diferencial percentual.

Resposta

O limiar de atuação ( T_{87}=0) é dado pelas duas retas
I_{2} = \frac{1 - \sqrt{\tfrac{k_{2}}{4\,k_{1}}}}{1 + \sqrt{\tfrac{k_{2}}{4\,k_{1}}}}\;I_{1} \quad\text{e}\quad I_{2} = \frac{1 + \sqrt{\tfrac{k_{2}}{4\,k_{1}}}}{1 - \sqrt{\tfrac{k_{2}}{4\,k_{1}}}}\;I_{1}.

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