A equação abaixo descreve o torque de operação de um relé do tipo reatância. Considerando o limiar de atuação, ou seja, condição de torque nulo, encontre matematicamente o lugar geométrico que descreva a região de operação desse relé.
\tau=k_{1} \times I^{2}-k_{2} \times V \times I \times \operatorname{sen}(\theta)-k_{3}

Passo 1

O enunciado dá o torque de operação de um relé reatância
\tau = k_{1} I^{2} - k_{2} V I \operatorname{sen}(\theta) - k_{3}
e pede o lugar geométrico que corresponde à fronteira de atuação, isto é, a condição de torque nulo \tau=0. O conteúdo aqui é reconhecermos que essa equação, quando igualada a zero, define uma cônica no plano (I,V).

Passo 2

Impondo o limiar de atuação \tau=0, temos
k_{1} I^{2} \;-\; k_{2}\,V\,I\,\operatorname{sen}(\theta)\;-\;k_{3} \;=\;0.

Passo 3

Para identificar o tipo de cônica, escrevemos no formato geral A I^{2}+B\,I\,V + C V^{2} + D I + E V + F=0. Aqui só há termos em I^{2} e em I\,V, logo:
A = k_{1},
B = -\,k_{2}\,\operatorname{sen}(\theta),
C=0,
os demais coeficientes nulos, exceto F=-k_{3}.

Passo 4

Calculamos o discriminante das cônicas
\Delta = B^{2}-4AC = \bigl(-k_{2}\operatorname{sen}(\theta)\bigr)^{2} - 4\,k_{1}\cdot 0 = k_{2}^{2}\,\operatorname{sen}^{2}(\theta) > 0,
o que caracteriza uma hipérbole. Portanto, a fronteira de atuação é uma hipérbole no plano (I,V).

Passo 5

Isolando V em função de I, partimos de
k_{2}\,V\,I\,\operatorname{sen}(\theta) = k_{1} I^{2} - k_{3}
e obtemos
V = \frac{k_{1} I^{2} - k_{3}}{k_{2}\,I\,\operatorname{sen}(\theta)} = \frac{k_{1}}{k_{2}\,\operatorname{sen}(\theta)}\,I \;-\;\frac{k_{3}}{k_{2}\,\operatorname{sen}(\theta)}\,\frac{1}{I}.
Essa é a forma explícita da hipérbole que delimita a região onde \tau\ge0.

Resposta

O lugar geométrico de fronteira de atuação ( \tau=0) é a hipérbole dada por
V = \frac{k_{1} I^{2} - k_{3}}{k_{2}\,I\,\operatorname{sen}(\theta)}.
A região de operação do relé corresponde ao conjunto de pontos (I,V) que satisfazem
k_{1} I^{2} - k_{2} V I \operatorname{sen}(\theta) - k_{3} \;\ge\;0.

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