A equação abaixo descreve o torque de operação de um relé do tipo reatância. Considerando o limiar de atuação, ou seja, condição de torque nulo, encontre matematicamente o lugar geométrico que descreva a região de operação desse relé.
Passo 1
O enunciado dá o torque de operação de um relé reatância
e pede o lugar geométrico que corresponde à fronteira de atuação, isto é, a condição de torque nulo
. O conteúdo aqui é reconhecermos que essa equação, quando igualada a zero, define uma cônica no plano
.
Passo 2
Impondo o limiar de atuação
, temos
Passo 3
Para identificar o tipo de cônica, escrevemos no formato geral
. Aqui só há termos em
e em
, logo:
,
,
,
os demais coeficientes nulos, exceto .
os demais coeficientes nulos, exceto
Passo 4
Calculamos o discriminante das cônicas
o que caracteriza uma hipérbole. Portanto, a fronteira de atuação é uma hipérbole no plano
.
Passo 5
Isolando
em função de
, partimos de
e obtemos
Essa é a forma explícita da hipérbole que delimita a região onde
.
Resposta
O lugar geométrico de fronteira de atuação (
) é a hipérbole dada por
A região de operação do relé corresponde ao conjunto de pontos
que satisfazem