A equação abaixo descreve o torque de operação de um relé do tipo impedância. Considerando o limiar de atuação, ou seja, condição de torque nulo, encontre matematicamente o lugar geométrico que descreva a região de operação desse relé.
\tau_{\text {operação }}=k_{1} I^{2}-k_{2} V^{2}-k_{m}çã

Passo 1

O enunciado dá a expressão do torque de operação de um relé de impedância
\tau_{\text{operação}} = k_{1}I^{2} - k_{2}V^{2} - k_{m}çã
e pede para, na condição de limiar de atuação ( \tau_{\text{operação}}=0çã), encontrar o lugar geométrico que separa a região em que o relé atua daquela em que não atua. Vamos usar álgebra de curvas no plano (I,V).

Passo 2

Impondo o limiar de atuação, isto é \tau_{\text{operação}}=0çã, obtemos
k_{1}I^{2} - k_{2}V^{2} - k_{m} = 0.
Reorganizando,
k_{1}I^{2} - k_{2}V^{2} = k_{m}.

Passo 3

Para reconhecer a forma da curva, dividimos ambos os lados por k_{m}:
\frac{k_{1}}{k_{m}}\,I^{2} \;-\;\frac{k_{2}}{k_{m}}\,V^{2} \;=\;1.
Agora escrevemos em forma padrão de hipérbole:
\frac{I^{2}}{\,\frac{k_{m}}{k_{1}}\,} \;-\;\frac{V^{2}}{\,\frac{k_{m}}{k_{2}}\,} = 1.

Passo 4

Essa é a equação de uma hipérbole centrada na origem com eixos sobre I e V. Suas assimptotas são determinadas por anular o termo constante, ou seja
\frac{k_{1}}{k_{m}}\,I^{2} \;-\;\frac{k_{2}}{k_{m}}\,V^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad I = \pm \sqrt{\frac{k_{2}}{k_{1}}}\,V.

Resposta

O lugar geométrico do limiar de atuação é a hipérbole
\frac{I^{2}}{\tfrac{k_{m}}{k_{1}}} \;-\;\frac{V^{2}}{\tfrac{k_{m}}{k_{2}}} = 1,
e o relé opera para os pontos (I,V) que satisfazem
k_{1}I^{2} - k_{2}V^{2} \ge k_{m}.

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