A equação de Bernoulli é muito importante na mecânica dos fluidos, pois relaciona as * variações de pressão com aquelas de velocidade e de elevação ao longo de uma linha de corrente. Essa equação, no entanto, deve ser aplicada apenas em situações que obedeçam a certas restrições, como, por exemplo, escoamento ao longo de uma linha de corrente. Além disso, o escoamento deve ser:
transiente, compressível e sem atrito.
transiente, incompressível e sem atrito.
permanente, incompressível e com atrito.
permanente, incompressível e sem atrito.
permanente, compressível e sem atrito.

Passo 1

O enunciado pergunta: quais são as condições adicionais (além de “ao longo de uma linha de corrente”) sob as quais a equação de Bernoulli pode ser aplicada? São dadas cinco alternativas:
  • transiente, compressível e sem atrito.
  • transiente, incompressível e sem atrito.
  • permanente, incompressível e com atrito.
  • permanente, incompressível e sem atrito.
  • permanente, compressível e sem atrito.
Informações relevantes do enunciado:
  • A aplicação é ao longo de uma linha de corrente (ou seja, avaliação ao longo de uma mesma linha de corrente).
  • Precisamos escolher quais propriedades do escoamento (dependência temporal, compressibilidade e presença/ausência de atrito) permitem usar Bernoulli.

Passo 2

Vamos escrever a forma usual da equação de Bernoulli e entender cada termo. A forma mais comum, em termos de energia por unidade de volume, é
p + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z = \text{const.}
onde:
  • p é a pressão do fluido no ponto considerado;
  • \rho é a densidade do fluido;
  • v é a velocidade do fluido no ponto considerado;
  • g é a aceleração da gravidade;
  • z é a elevação (altura) do ponto em relação a uma referência;
  • “const.” significa que a soma desses três termos é a mesma em todos os pontos de uma mesma linha de corrente (sob as hipóteses adequadas).
Explicação física rápida: o termo \tfrac12\rho v^{2} representa energia cinética por unidade de volume, \rho g z representa energia potencial (peso × altura) por unidade de volume, e p representa energia associada à pressão. Bernoulli é a conservação de energia mecânica por unidade de volume ao longo da corrente.

Passo 3

Quais hipóteses são necessárias para chegar nessa equação? Vou explicar cada uma de forma simples e por que é importante.
  1. Permanente (escolha “permanente” em vez de “transiente”):
  • “Permanente” significa que as propriedades do escoamento não mudam no tempo em cada ponto: \partial/\partial t = 0.
  • Na equação de movimento (Navier–Stokes ou Euler), existe um termo de derivada temporal \rho \,\partial \mathbf{v}/\partial t. Para integrar e obter a forma simples de Bernoulli é necessário que esse termo seja nulo. Se o escoamento é transiente, a energia muda no tempo e a soma p+\tfrac12\rho v^2+\rho g z não é constante no tempo sem adicionar termos extras dependentes de t. Portanto a versão clássica de Bernoulli exige escoamento permanente.
  1. Incompressível (densidade constante \rho= constante):
  • Compressibilidade significa que \rho varia com a pressão/posição. A dedução usual assume \rho constante para poder integrar certos termos e para que o termo de energia cinética tenha a forma simples \tfrac12\rho v^2 independente de variação volumétrica.
  • Se o fluido é compressível (como gases com variações relevantes de pressão/temperatura), a equação de Bernoulli precisa ser modificada (aparecem integrais \int dp/\rho(p) ou termos termodinâmicos). A forma simples que está no enunciado só vale para incompressível.
  1. Sem atrito (escoamento invíscido):
  • Atrito viscoso aparece como termos de tensão viscosa nas equações de movimento e causa dissipação de energia (perda de carga). A presença de atrito impede que a energia mecânica total permaneça constante ao longo da corrente: parte da energia é convertida em calor.
  • Para incluir atrito é comum usar Bernoulli mais um termo de perda (por exemplo, somar um -h_{f} ou similar). A forma clássica “igual constante” exige atrito desprezível (escoamento invíscido) ou então considerar a versão com perdas.
  1. Ao longo de uma linha de corrente:
  • Mesmo em escoamento rotacional, a forma de Bernoulli pode não ser válida entre linhas de corrente diferentes; a derivação integrando o termo convectivo usa deslocamento ao longo da mesma streamline.
Resumo: para a forma simples de Bernoulli escrita acima precisamos de escoamento permanente, incompressível e sem atrito (além de que a análise é feita ao longo de uma linha de corrente).

Passo 4

Agora vamos eliminar as alternativas que não satisfazem as hipóteses necessárias:
  • Alternativa 1: “transiente, compressível e sem atrito.”
    • Tem “transiente” (erro: Bernoulli clássico exige permanente).
    • Tem “compressível” (erro: forma simples exige incompressível).
    • Portanto essa alternativa está incorreta.
  • Alternativa 2: “transiente, incompressível e sem atrito.”
    • Tem “transiente” (erro). Mesmo sendo incompressível e sem atrito, a variação temporal impede a forma simples. Alternativa incorreta.

Passo 5

Continuando a eliminação:
  • Alternativa 3: “permanente, incompressível e com atrito.”
    • Aqui só falta que o escoamento seja sem atrito; como há atrito, a energia mecânica não se conserva e a forma simples não vale sem incluir termo de perda. Alternativa incorreta.
  • Alternativa 5: “permanente, compressível e sem atrito.”
    • Aqui é permanente e sem atrito (bom), mas compressível quebra a forma simples: a integração requer considerar variação de \rho e resulta em \int dp/\rho em vez de apenas p. Assim, a alternativa está incorreta para a forma usual.

Passo 6

Sobram apenas as alternativas verificadas: a única que satisfaz todas as hipóteses necessárias é “permanente, incompressível e sem atrito.” Essa opção garante:
  • \partial/\partial t = 0 (permanência) para eliminar termos temporais;
  • \rho= constante (incompressibilidade) para poder tirar \rho da integração e manter a forma simples;
  • ausência de tensões viscosas (sem atrito) para que não exista dissipação de energia ao longo da corrente.
Além disso, lembrando: ainda é preciso aplicar “ao longo de uma linha de corrente” como o enunciado já exigiu.

Resposta

permanente, incompressível e sem atrito.

Exercícios relacionados