A equação de Bernoulli é muito importante na mecânica dos fluidos, pois relaciona as * variações de pressão com aquelas de velocidade e de elevação ao longo de uma linha de corrente. Essa equação, no entanto, deve ser aplicada apenas em situações que obedeçam a certas restrições, como, por exemplo, escoamento ao longo de uma linha de corrente. Além disso, o escoamento deve ser:
transiente, compressível e sem atrito.
transiente, incompressível e sem atrito.
permanente, incompressível e com atrito.
permanente, incompressível e sem atrito.
permanente, compressível e sem atrito.
transiente, compressível e sem atrito.
transiente, incompressível e sem atrito.
permanente, incompressível e com atrito.
permanente, incompressível e sem atrito.
permanente, compressível e sem atrito.
Passo 1
O enunciado pergunta: quais são as condições adicionais (além de “ao longo de uma linha de corrente”) sob as quais a equação de Bernoulli pode ser aplicada? São dadas cinco alternativas:
- transiente, compressível e sem atrito.
- transiente, incompressível e sem atrito.
- permanente, incompressível e com atrito.
- permanente, incompressível e sem atrito.
- permanente, compressível e sem atrito.
Informações relevantes do enunciado:
- A aplicação é ao longo de uma linha de corrente (ou seja, avaliação ao longo de uma mesma linha de corrente).
- Precisamos escolher quais propriedades do escoamento (dependência temporal, compressibilidade e presença/ausência de atrito) permitem usar Bernoulli.
Passo 2
Vamos escrever a forma usual da equação de Bernoulli e entender cada termo. A forma mais comum, em termos de energia por unidade de volume, é
onde:
-
é a pressão do fluido no ponto considerado; -
é a densidade do fluido; -
é a velocidade do fluido no ponto considerado; -
é a aceleração da gravidade; -
é a elevação (altura) do ponto em relação a uma referência; - “const.” significa que a soma desses três termos é a mesma em todos os pontos de uma mesma linha de corrente (sob as hipóteses adequadas).
Explicação física rápida: o termo
representa energia cinética por unidade de volume,
representa energia potencial (peso × altura) por unidade de volume, e
representa energia associada à pressão. Bernoulli é a conservação de energia mecânica por unidade de volume ao longo da corrente.
Passo 3
Quais hipóteses são necessárias para chegar nessa equação? Vou explicar cada uma de forma simples e por que é importante.
- Permanente (escolha “permanente” em vez de “transiente”):
- “Permanente” significa que as propriedades do escoamento não mudam no tempo em cada ponto:
. - Na equação de movimento (Navier–Stokes ou Euler), existe um termo de derivada temporal
. Para integrar e obter a forma simples de Bernoulli é necessário que esse termo seja nulo. Se o escoamento é transiente, a energia muda no tempo e a soma não é constante no tempo sem adicionar termos extras dependentes de . Portanto a versão clássica de Bernoulli exige escoamento permanente.
- Incompressível (densidade constante
constante):
- Compressibilidade significa que
varia com a pressão/posição. A dedução usual assume constante para poder integrar certos termos e para que o termo de energia cinética tenha a forma simples independente de variação volumétrica. - Se o fluido é compressível (como gases com variações relevantes de pressão/temperatura), a equação de Bernoulli precisa ser modificada (aparecem integrais
ou termos termodinâmicos). A forma simples que está no enunciado só vale para incompressível.
- Sem atrito (escoamento invíscido):
- Atrito viscoso aparece como termos de tensão viscosa nas equações de movimento e causa dissipação de energia (perda de carga). A presença de atrito impede que a energia mecânica total permaneça constante ao longo da corrente: parte da energia é convertida em calor.
- Para incluir atrito é comum usar Bernoulli mais um termo de perda (por exemplo, somar um
ou similar). A forma clássica “igual constante” exige atrito desprezível (escoamento invíscido) ou então considerar a versão com perdas.
- Ao longo de uma linha de corrente:
- Mesmo em escoamento rotacional, a forma de Bernoulli pode não ser válida entre linhas de corrente diferentes; a derivação integrando o termo convectivo usa deslocamento ao longo da mesma streamline.
Resumo: para a forma simples de Bernoulli escrita acima precisamos de escoamento permanente, incompressível e sem atrito (além de que a análise é feita ao longo de uma linha de corrente).
Passo 4
Agora vamos eliminar as alternativas que não satisfazem as hipóteses necessárias:
-
Alternativa 1: “transiente, compressível e sem atrito.”
- Tem “transiente” (erro: Bernoulli clássico exige permanente).
- Tem “compressível” (erro: forma simples exige incompressível).
- Portanto essa alternativa está incorreta.
-
Alternativa 2: “transiente, incompressível e sem atrito.”
- Tem “transiente” (erro). Mesmo sendo incompressível e sem atrito, a variação temporal impede a forma simples. Alternativa incorreta.
Passo 5
Continuando a eliminação:
-
Alternativa 3: “permanente, incompressível e com atrito.”
- Aqui só falta que o escoamento seja sem atrito; como há atrito, a energia mecânica não se conserva e a forma simples não vale sem incluir termo de perda. Alternativa incorreta.
-
Alternativa 5: “permanente, compressível e sem atrito.”
- Aqui é permanente e sem atrito (bom), mas compressível quebra a forma simples: a integração requer considerar variação de
e resulta em em vez de apenas . Assim, a alternativa está incorreta para a forma usual.
- Aqui é permanente e sem atrito (bom), mas compressível quebra a forma simples: a integração requer considerar variação de
Passo 6
Sobram apenas as alternativas verificadas: a única que satisfaz todas as hipóteses necessárias é “permanente, incompressível e sem atrito.” Essa opção garante:
-
(permanência) para eliminar termos temporais; -
constante (incompressibilidade) para poder tirar da integração e manter a forma simples; - ausência de tensões viscosas (sem atrito) para que não exista dissipação de energia ao longo da corrente.
Além disso, lembrando: ainda é preciso aplicar “ao longo de uma linha de corrente” como o enunciado já exigiu.
Resposta
permanente, incompressível e sem atrito.