Q6: A equação do círculo com centro em \left(x_{0}, y_{0}\right) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde
a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0},
c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2} .
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações (**).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (3,-3),(-5,1) e (4,-4).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 9.3
(B) 10.3
(C) 11.3
(D) 12.3
(E) 13.3
(F) 14.3
(G) 15.3
(H) 16.3

Passo 1

O enunciado dá os três pontos do círculo e a forma expandida da equação do círculo. Dados relevantes (retirados do enunciado):
  • Pontos que pertencem ao círculo: (3,-3), (-5,1) e (4,-4).
  • Equação expansionada que todos os pontos satisfazem:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c.
  • Relações fornecidas entre a,b,c e o centro \left(x_{0},y_{0}\right) e raio r:
a=-2x_{0},\qquad b=-2y_{0},
c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
O que o problema pede:
  • Determinar o centro \left(x_{0},y_{0}\right) e o raio r do círculo que passa pelos três pontos.
  • Escolher, entre as alternativas fornecidas, a que tem valor mais próximo do raio.

Passo 2

Montar as equações lineares para a,b,c substituindo cada ponto em \;x^{2}+a x+y^{2}+b y=c\;.
Para (3,-3):
3^{2}+a\cdot3+(-3)^{2}+b\cdot(-3)=c
18+3a-3b=c. \tag{1}
Para (-5,1):
(-5)^{2}+a\cdot(-5)+1^{2}+b\cdot1=c
26-5a+b=c. \tag{2}
Para (4,-4):
4^{2}+a\cdot4+(-4)^{2}+b\cdot(-4)=c
32+4a-4b=c. \tag{3}
Agora temos o sistema linear em a,b,c dado por (1), (2) e (3).

Passo 3

Eliminar c subtraindo equações para obter um sistema só em a e b.
Subtraindo (2) de (1):
(18+3a-3b)-(26-5a+b)=0
18+3a-3b-26+5a-b=0
8a-4b-8=0
Dividindo por 4:
2a-b=2. \tag{A}
Subtraindo (1) de (3):
(32+4a-4b)-(18+3a-3b)=0
32+4a-4b-18-3a+3b=0
a-b+14=0
a-b=-14. \tag{B}
Agora resolvemos o sistema linear em a,b:
\begin{cases} 2a-b=2,\\[4pt] a-b=-14. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema para a e b.
Subtraindo a segunda equação da primeira (ou simplesmente observando):
(2a-b)-(a-b)=2-(-14)\quad\Rightarrow\quad a=16.
Com a=16 em a-b=-14:
16-b=-14\quad\Rightarrow\quad b=30.
Portanto:
a=16,\qquad b=30.

Passo 5

Determinar c substituindo a e b em qualquer das equações (uso a equação (2)):
c=26-5a+b=26-5\cdot16+30.
Calcular passo a passo:
5\cdot16=80,\qquad 26-80=-54,\qquad -54+30=-24.
Logo
c=-24.

Passo 6

Encontrar o centro \left(x_{0},y_{0}\right) a partir de a e b, usando a=-2x_{0} e b=-2y_{0}.
x_{0}=-\dfrac{a}{2}=-\dfrac{16}{2}=-8,
y_{0}=-\dfrac{b}{2}=-\dfrac{30}{2}=-15.
Portanto o centro é
\left(x_{0},y_{0}\right)=(-8,-15).
Observação didática rápida: a forma geral do círculo \,(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}\, ao expandir gera os termos x^{2}+y^{2}-2x_{0}x-2y_{0}y+(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2})=0. Comparando com x^{2}+ax+y^{2}+by-c=0 obtém-se a=-2x_{0}, b=-2y_{0} e c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2} (isto é o que usamos).

Passo 7

Calcular o raio r pela relação entre c, x_{0} e y_{0}:
c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}\quad\Rightarrow\quad r^{2}=c+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}.
Substituindo c=-24, x_{0}^{2}=(-8)^{2}=64 e y_{0}^{2}=(-15)^{2}=225:
r^{2}=-24+64+225=-24+289=265.
Logo
r=\sqrt{265}.
Fazendo uma aproximação manual para \sqrt{265}: nota-se que 16^{2}=256 e 17^{2}=289, então \sqrt{265} está entre 16 e 17. Usando aproximação linear:
\sqrt{265}\approx16+\dfrac{265-256}{2\cdot16}=16+\dfrac{9}{32}=16+0{,}28125\approx16{,}28.
(Verificação rápida: (16{,}28)^{2}\approx265{,}0, consistente.)

Passo 8

Concluir qual alternativa é a mais próxima do raio: as opções são valores com uma casa decimal; o valor aproximado do raio r é \approx16{,}28, que é mais próximo de 16{,}3. A alternativa correspondente é a letra (H).

Resposta

\text{Centro }(-8,-15)
\text{Raio }r=\sqrt{265}\approx16{,}28
(H) 16{,}3

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