Q6: A equação do círculo com centro em \left(x_{0}, y_{0}\right) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde
a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0},
c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2} .
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações (**).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (3,-3),(-5,1) e (4,-4).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 9.3
(B) 10.3
(C) 11.3
(D) 12.3
(E) 13.3
(F) 14.3
(G) 15.3
(H) 16.3
Passo 1
O enunciado dá os três pontos do círculo e a forma expandida da equação do círculo. Dados relevantes (retirados do enunciado):
Pontos que pertencem ao círculo: (3,-3), (-5,1) e (4,-4).
Equação expansionada que todos os pontos satisfazem:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c.
Relações fornecidas entre a,b,c e o centro \left(x_{0},y_{0}\right) e raio r:
a=-2x_{0},\qquad b=-2y_{0},
c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
O que o problema pede:
Determinar o centro \left(x_{0},y_{0}\right) e o raio r do círculo que passa pelos três pontos.
Escolher, entre as alternativas fornecidas, a que tem valor mais próximo do raio.
Passo 2
Montar as equações lineares para a,b,c substituindo cada ponto em \;x^{2}+a x+y^{2}+b y=c\;.
Para (3,-3):
3^{2}+a\cdot3+(-3)^{2}+b\cdot(-3)=c
18+3a-3b=c. \tag{1}
Para (-5,1):
(-5)^{2}+a\cdot(-5)+1^{2}+b\cdot1=c
26-5a+b=c. \tag{2}
Para (4,-4):
4^{2}+a\cdot4+(-4)^{2}+b\cdot(-4)=c
32+4a-4b=c. \tag{3}
Agora temos o sistema linear em a,b,c dado por (1), (2) e (3).
Passo 3
Eliminar c subtraindo equações para obter um sistema só em a e b.
Subtraindo a segunda equação da primeira (ou simplesmente observando):
(2a-b)-(a-b)=2-(-14)\quad\Rightarrow\quad a=16.
Com a=16 em a-b=-14:
16-b=-14\quad\Rightarrow\quad b=30.
Portanto:
a=16,\qquad b=30.
Passo 5
Determinar c substituindo a e b em qualquer das equações (uso a equação (2)):
c=26-5a+b=26-5\cdot16+30.
Calcular passo a passo:
5\cdot16=80,\qquad 26-80=-54,\qquad -54+30=-24.
Logo
c=-24.
Passo 6
Encontrar o centro \left(x_{0},y_{0}\right) a partir de a e b, usando a=-2x_{0} e b=-2y_{0}.
x_{0}=-\dfrac{a}{2}=-\dfrac{16}{2}=-8,
y_{0}=-\dfrac{b}{2}=-\dfrac{30}{2}=-15.
Portanto o centro é
\left(x_{0},y_{0}\right)=(-8,-15).
Observação didática rápida: a forma geral do círculo \,(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}\, ao expandir gera os termos x^{2}+y^{2}-2x_{0}x-2y_{0}y+(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2})=0. Comparando com x^{2}+ax+y^{2}+by-c=0 obtém-se a=-2x_{0}, b=-2y_{0} e c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2} (isto é o que usamos).
Passo 7
Calcular o raio r pela relação entre c, x_{0} e y_{0}:
Concluir qual alternativa é a mais próxima do raio: as opções são valores com uma casa decimal; o valor aproximado do raio r é \approx16{,}28, que é mais próximo de 16{,}3. A alternativa correspondente é a letra (H).