Uma equação da circunferência tem diâmetros cujos extremos são (2; 3) e (-4; 5). Encontre equação da circunferência.
Passo 1
O enunciado dá os extremos de um diâmetro da circunferência: os pontos
e
.
Pede: encontrar a equação da circunferência que tem esse diâmetro.
Pede: encontrar a equação da circunferência que tem esse diâmetro.
Informações fornecidas:
- Extremidade 1 do diâmetro:
. - Extremidade 2 do diâmetro:
.
O que precisamos obter (resumindo): a equação da circunferência (forma centro-raio ou forma geral) usando esses dois pontos.
Passo 2
Primeiro passo prático: achar o centro da circunferência.
Fato importante (fórmula que preciso te ensinar): o centro de uma circunferência cujo diâmetro tem extremos e
é o ponto médio desses extremos.
Fato importante (fórmula que preciso te ensinar): o centro de uma circunferência cujo diâmetro tem extremos
Fórmula do ponto médio:
Agora aplicamos com
e
.
Cálculo do primeiro componente (abscissa):
Cálculo do segundo componente (ordenada):
Portanto o centro da circunferência é o ponto
.
Passo 3
Agora precisamos do raio. Observação importante: a distância entre os extremos do diâmetro é o comprimento do diâmetro; o raio é metade dessa distância.
Fórmula da distância entre dois pontos
e
:
Calculemos a distância entre
e
.
Diferenças:
Quadrados:
Soma e raiz:
Simplificando
:
Então o diâmetro tem comprimento
. O raio
é metade disso:
É útil também o quadrado do raio:
Passo 4
Agora lembramos a forma padrão (centro-raio) da equação de uma circunferência com centro
e raio
:
Aqui temos
,
e
. Substituindo na fórmula:
Simplificando o sinal:
Essa já é a equação da circunferência na forma centro-raio — a forma mais direta e fácil de interpretar.
Passo 5
Se você precisar da forma geral da equação (mais usada às vezes), podemos expandir e recolher os termos.
Expandindo:
Somando os termos constantes do lado esquerdo:
Passando o
para o lado esquerdo:
Portanto a forma geral é
Passo 6
Checagem rápida (útil na prova): verificar que um dos extremos pertence à circunferência. Pegamos
e substituímos na forma centro-raio:
compatível com o lado direito que é
. Então está consistente.