Uma equação da circunferência tem diâmetros cujos extremos são (2; 3) e (-4; 5). Encontre equação da circunferência.

Passo 1

O enunciado dá os extremos de um diâmetro da circunferência: os pontos (2,3) e (-4,5).
Pede: encontrar a equação da circunferência que tem esse diâmetro.
Informações fornecidas:
  • Extremidade 1 do diâmetro: (2,3).
  • Extremidade 2 do diâmetro: (-4,5).
O que precisamos obter (resumindo): a equação da circunferência (forma centro-raio ou forma geral) usando esses dois pontos.

Passo 2

Primeiro passo prático: achar o centro da circunferência.
Fato importante (fórmula que preciso te ensinar): o centro de uma circunferência cujo diâmetro tem extremos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é o ponto médio desses extremos.
Fórmula do ponto médio:
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\;\frac{y_1+y_2}{2}\right)
Agora aplicamos com (x_1,y_1)=(2,3) e (x_2,y_2)=(-4,5).
Cálculo do primeiro componente (abscissa):
\frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1
Cálculo do segundo componente (ordenada):
\frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4
Portanto o centro da circunferência é o ponto (-1,4).

Passo 3

Agora precisamos do raio. Observação importante: a distância entre os extremos do diâmetro é o comprimento do diâmetro; o raio é metade dessa distância.
Fórmula da distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
Calculemos a distância entre (2,3) e (-4,5).
Diferenças:
\Delta x = 2 - (-4) = 6
\Delta y = 3 - 5 = -2
Quadrados:
\Delta x^2 = 6^2 = 36
\Delta y^2 = (-2)^2 = 4
Soma e raiz:
\text{diâmetro} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}â
Simplificando \sqrt{40}:
\sqrt{40} = \sqrt{4\cdot 10} = 2\sqrt{10}
Então o diâmetro tem comprimento 2\sqrt{10}. O raio r é metade disso:
r = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}
É útil também o quadrado do raio:
r^2 = (\sqrt{10})^2 = 10

Passo 4

Agora lembramos a forma padrão (centro-raio) da equação de uma circunferência com centro (h,k) e raio r:
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
Aqui temos h=-1, k=4 e r^2=10. Substituindo na fórmula:
(x - (-1))^2 + (y - 4)^2 = 10
Simplificando o sinal:
(x+1)^2 + (y-4)^2 = 10
Essa já é a equação da circunferência na forma centro-raio — a forma mais direta e fácil de interpretar.

Passo 5

Se você precisar da forma geral da equação (mais usada às vezes), podemos expandir e recolher os termos.
Expandindo:
(x+1)^2 + (y-4)^2 = 10
x^2 + 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 10
Somando os termos constantes do lado esquerdo:
x^2 + y^2 + 2x - 8y + 17 = 10
Passando o 10 para o lado esquerdo:
x^2 + y^2 + 2x - 8y + 7 = 0
Portanto a forma geral é \,x^2 + y^2 + 2x - 8y + 7 = 0.

Passo 6

Checagem rápida (útil na prova): verificar que um dos extremos pertence à circunferência. Pegamos (2,3) e substituímos na forma centro-raio:
(2+1)^2 + (3-4)^2 = 3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10,
compatível com o lado direito que é 10. Então está consistente.

Resposta

(x+1)^2 + (y-4)^2 = 10
x^2 + y^2 + 2x - 8y + 7 = 0

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