Equação diferencial de Bernoulli. É uma equação diferencial não linear de
ordem da forma
onde
é uma constante real diferente de 0 e 1 . Se
, (B) é uma equação linear homogênea. Observe que
é sempre uma solução de (B). Para achar outras soluções, mostre que a mudança
transforma (B) na equação linear
Use esse método para resolver as seguintes equações:
(c)
(que também é homogênea!)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Bernoulli
que é de primeira ordem e não linear. Lembrando que toda Bernoulli
aceita a solução trivial
e, para as demais, fazemos a mudança
Aqui identificaremos
,
e
e usaremos
.
Passo 2
Primeiro colocamos em forma padrão
. Dividindo por
:
Portanto é uma Bernoulli com
Passo 3
Fazemos a substituição
Sabendo que, em geral, essa mudança leva a
no nosso caso
. Logo
Passo 4
É agora uma equação linear em
. O fator integrante é
Multiplicando por
obtemos
Integrando em
:
Passo 5
Voltando a
, temos
Resposta
onde
é constante arbitrária (além da solução trivial
).