Equação diferencial de Bernoulli. É uma equação diferencial não linear de 1^{\underline{a}} ordem da forma
y^{\prime}+p(x) y=q(x) y^{n},
onde n é uma constante real diferente de 0 e 1 . Se n=1, (B) é uma equação linear homogênea. Observe que y=0 é sempre uma solução de (B). Para achar outras soluções, mostre que a mudança z=y^{-n+1} transforma (B) na equação linear
z^{\prime}+(1-n) p(x) z=(1-n) q(x) .
Use esse método para resolver as seguintes equações:
(c) 2 x^{3} y^{\prime}=y\left(y^{2}+3 x^{2}\right) (que também é homogênea!)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Bernoulli
2x^{3}y'=y\bigl(y^{2}+3x^{2}\bigr),
que é de primeira ordem e não linear. Lembrando que toda Bernoulli
y'+p(x)y=q(x)y^{n}
aceita a solução trivial y=0 e, para as demais, fazemos a mudança
z=y^{\,1-n}.
Aqui identificaremos p(x), q(x) e n e usaremos z=y^{1-n}.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão y'+p(x)y=q(x)y^{n}. Dividindo por 2x^{3}:
y'=\frac{y^{3}}{2x^{3}}+\frac{3y}{2x} \quad\Longrightarrow\quad y'-\frac{3}{2x}\,y=\frac{1}{2x^{3}}\,y^{3}.
Portanto é uma Bernoulli com
p(x)=-\frac{3}{2x}, \quad q(x)=\frac{1}{2x^{3}}, \quad n=3.

Passo 3

Fazemos a substituição
z=y^{\,1-n}=y^{-2}.
Sabendo que, em geral, essa mudança leva a
z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x),
no nosso caso 1-n=-2. Logo
z' +(-2)\Bigl(-\tfrac{3}{2x}\Bigr)z =(\\ -2)\Bigl(\tfrac{1}{2x^{3}}\Bigr) \;\Longrightarrow\; z'+\frac{3}{x}z=-\frac{1}{x^{3}}.

Passo 4

É agora uma equação linear em z. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\biggl(\int\frac{3}{x}\,dx\biggr)=x^{3}.
Multiplicando por x^{3} obtemos
(x^{3}z)'=-1.
Integrando em x:
x^{3}z=-x+C \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{-x+C}{x^{3}}=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{C}{x^{3}}.

Passo 5

Voltando a y, temos
y^{-2}=z=\frac{C-x}{x^{3}} \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=\frac{x^{3}}{\,C-x\,} \quad\Longrightarrow\quad y=\pm\frac{x^{3/2}}{\sqrt{C-x}}.

Resposta

y(x)=\pm\frac{x^{3/2}}{\sqrt{C-x}},
onde C é constante arbitrária (além da solução trivial y=0).

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