Equação diferencial de Bernoulli. É uma equação diferencial não linear de
ordem da forma
onde
é uma constante real diferente de 0 e 1 . Se
, (B) é uma equação linear homogênea. Observe que
é sempre uma solução de (B). Para achar outras soluções, mostre que a mudança
transforma (B) na equação linear
Use esse método para resolver as seguintes equações:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para usar o método de Bernoulli, que consiste em escrever a equação na forma
e depois fazer a troca
para obter uma equação linear em
.
Passo 2
Vamos colocar a equação no formato
. Dividindo ambos os lados por
, temos
Isto é equivalente a
Portanto é uma equação de Bernoulli com
Passo 3
Fazendo a mudança
calcúlo
. Como
,
Usando a expressão de
obtida, chega-se a
que é uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 4
Para resolver
usamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
obtemos
Integrando em
:
Logo
Passo 5
Voltando a
, lembramos que
, então
e, elevando ao cubo,
Resposta
A solução geral é
além da solução trivial
.