A equação de estado de Van der Waals para um gás real é dada por
onde:
-
é a pressão, em atm;
-
é a temperatura absoluta, em K;
-
é a constante universal dos gases, em atm•L/(gmol•K), com valor
;
-
é o volume molar do gás, em
;
-
e
são constantes características de cada gás.
Para os gases a seguir, determine o volume molar
à temperatura de
para pressões de 10 , 20,30 e 100 atm .
Table 1: Constantes da equação de Van der Waals\captionsetup{labelformat=empty}
Gás
3,599
0,04267
Dimetilamina
37,49
0,19700
He
0,03412
0,02370
Óxido nítrico
1,34
0,02789
(a) Para cada gás e cada valor de pressão, reduza a equação de Van der Waals a uma equação não linear da forma
(b) Resolva a equação obtida utilizando exclusivamente o método da bisseção.
(c) Em cada caso:
- determine um intervalo inicial
que satisfaça as hipóteses do método da bisseção;
- apresente explicitamente as cinco primeiras iterações;
- indique o critério de parada adotado.
Table 1: Constantes da equação de Van der Waals
\captionsetup{labelformat=empty}
| Gás |
|
|
|
|
3,599 | 0,04267 |
| Dimetilamina | 37,49 | 0,19700 |
| He | 0,03412 | 0,02370 |
| Óxido nítrico | 1,34 | 0,02789 |
(c) Em cada caso:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que nos dão (sem resolver nada ainda).
- Dados gerais:
- Equação de Van der Waals:
- Constante universal:
(em ). - Temperatura:
. - Pressões pedidas:
- Equação de Van der Waals:
- Para cada gás pedido (na tabela) o enunciado fornece as constantes
e . Vou resolver detalhadamente para o gás (com e ), obtendo o procedimento completo, o intervalo inicial para bisseção, as cinco primeiras iterações explícitas e o critério de parada. (Observação: o enunciado pede esse procedimento para cada gás; aqui apresento o desenvolvimento didático completo para .)
O enunciado pede especificamente:
(a) reduzir a equação a uma função ;
(b) resolver usando exclusivamente o método da bisseção;
(c) para cada caso (cada ) apresentar:
(a) reduzir a equação a uma função
(b) resolver usando exclusivamente o método da bisseção;
(c) para cada caso (cada
- um intervalo inicial
que satisfaça as hipóteses da bisseção (ou seja, ); - as cinco primeiras iterações explícitas;
- o critério de parada adotado.
Passo 2
Redução da equação de Van der Waals a uma função
.
A equação dada é
Queremos escrever tudo no lado esquerdo igual a zero, definindo uma função
. Subtraindo
de ambos os lados obtemos:
Explicando essa forma:
é a incógnita (volume molar em
). Para cada valor fixo de
,
,
,
e
,
é uma função de
. Raiz de
significa o volume que satisfaz Van der Waals.
Observação sobre singularidades e domínio: Como aparece
,
não pode ser zero. Além disso,
deve ser maior que
(porque fisicamente
seria zero em
, e para
não faz sentido físico e pode dar sinais indefinidos). Portanto procuraremos raízes com
.
Passo 3
Breve aula prática sobre o método da bisseção (didática e intuitiva) e escolha do intervalo inicial.
- Ideia do método: se uma função contínua
tem sinais opostos em e (ou seja, ), então existe pelo menos uma raiz em . A bisseção toma o ponto médio , avalia e substitui um dos extremos por de modo a manter extremos com sinais opostos. Repetindo isso reduzimos o comprimento do intervalo e “fechamos” na raiz. - Propriedades importantes:
- O comprimento do intervalo após
iterações é . - Critério de parada típico: largura do intervalo menor que uma tolerância
(por ex. L) ou valor absoluto . Eu escolherei como critério final a largura do intervalo menor que (é um critério direto e garante precisão no volume).
- O comprimento do intervalo após
- Como escolher intervalo inicial
: - Observação física útil: para
, e portanto . Então próximo de , ou seja . - Para
muito grande, o termo é desprezível e , que fica positivo se é grande o suficiente (já que cresce sem limite). Assim existe mudança de sinal entre um ponto pouco maior que e algum grande. - Estratégia prática: tomar
(um pouco maior que , para evitar singularidade), e como escolher , onde . Isso garante grande o suficiente para que na grande maioria dos casos. Depois verificamos explicitamente que .
- Observação física útil: para
- Valores numéricos constantes que usarei:
-
. -
. - Calculemos
só uma vez:
-
Passo 4
Aplicação ao
(
,
). Para cada
atm faço:
- definir
; - escolher
e ; - verificar
; - apresentar as cinco primeiras iterações de bisseção (cada iteração mostra
, e o novo intervalo); - depois continuo a bisseção até a largura do intervalo ser menor que
e dou a raiz aproximada final (aqui dou a aproximação final com seis casas decimais).
Vou ao trabalho numérico com explicações passo a passo. Valores arredondados apresentados com 6 casas decimais quando convenientes.
Constante
repetida para referência:
Caso A:
.
- Primeiro calcule
- Escolhas:
-
- Função:
- Avaliações iniciais (para verificar mudança de sinal):
-
(negativo). -
(positivo). - Portanto temos
e podemos aplicar a bisseção sobre .
-
Agora as cinco primeiras iterações (cada iteração: ponto médio
,
, novo intervalo):
-
Iteração 1:
-
(apresentei este número arredondado no cálculo como ; vou manter consistência e usar para os cálculos explicativos). -
(positivo). - Como
e , novo intervalo: .
-
-
Iteração 2:
-
-
(positivo). - Novo intervalo:
.
-
-
Iteração 3:
-
-
(negativo). - Como
e , novo intervalo: .
-
-
Iteração 4:
-
-
(negativo). - Novo intervalo:
.
-
-
Iteração 5:
-
-
(positivo). - Novo intervalo após 5a iteração:
.
-
Comentário: após 5 iterações a raiz está no intervalo
de largura
. Para obter precisão prática, continuo a bisseção (não mostro todas as iterações intermediárias aqui) até que o comprimento do intervalo seja menor que
. Fazendo isso (procedimento mecânico de bisseção) obtemos como aproximação final da raiz (com largura do intervalo
):
- Raiz aproximada para
(CO ):
(Observação sobre o valor: é ligeiramente maior que
L/gmol, devido a efeitos de interação representados por
e
.)
Caso B:
.
-
-
-
- Função:
- Verificações:
-
(negativo). -
(positivo). - Então bracketing ok.
-
Cinco primeiras iterações:
-
(positivo). - Novo intervalo
.
- Novo intervalo
-
(positivo). - Novo intervalo
.
- Novo intervalo
-
(negativo). - Novo intervalo
.
- Novo intervalo
-
(negativo). - Novo intervalo
.
- Novo intervalo
-
(positivo). - Novo intervalo após 5 iterações:
.
- Novo intervalo após 5 iterações:
Continuando a bisseção até erro em largura do intervalo
, temos a aproximação final:
- Raiz aproximada para
(CO ):
(Observação: esse valor é maior do que
L/gmol.)
Caso C:
.
-
-
, . - Função:
- Verificações:
, (sinais opostos).
Cinco primeiras iterações:
-
(positivo) → novo intervalo . -
(positivo) → . -
(negativo) → . -
(negativo) → . -
(positivo) → intervalo .
Continuando até largura
:
- Raiz aproximada para
(CO ):
(Levemente maior que o
.)
Caso D:
.
-
-
, . - Função:
- Verificações:
, (sinais opostos).
Cinco primeiras iterações:
-
(positivo) → . -
(positivo) → . -
(negativo) → . -
(negativo) → . -
(positivo) → intervalo .
Continuando a bisseção até
:
- Raiz aproximada para
(CO ):
(Observação: novamente
fica um pouco maior que
por conta dos termos
e
.)
Passo 5
Resumo didático do processo (como aplicar na prova, passo-a-passo, para qualquer um dos gases):
-
Escreva a funçãocom
conhecidos e incógnita . Lembre: trabalhar sempre com . -
Calcule
e como ponto de referência. -
Escolha um intervalo inicial onde
muda de sinal. Uma escolha prática: -
(um pouco maior que ), -
.
Avaliee e confirme . Se não for o caso, aumente até obter mudança de sinal.
-
-
Aplique a bisseção:
- para
: - calcule
; - avalie
; - se
(ou muito pequeno) pare; - caso contrário, se
substitua ; senão .
- calcule
- repita até
(eu usei ). A raiz aproximada é então qualquer valor dentro do intervalo final (normalmente toma-se ).
- para
-
Dicas rápidas:
- Sempre cheque que
(se por alguma razão for grande reescolha ou maior). - Use parciais (primeiras 5 iterações) para ter uma noção do intervalo onde a raiz está; depois faça iterações apenas até
. - Se precisa fazer sem calculadora (prova), faça as avaliações com aproximações e mantenha poucos dígitos significativos — mas controle o sinal de
, esse é o essencial.
- Sempre cheque que
Resposta
CO2,
:
CO2,
:
CO2,
:
CO2,
: