A fórmula de Bazin para a velocidade de um fluido em canais abertos é dada por
onde
Em que:
-
é o coeficiente de rugosidade;
-
é o raio hidráulico (em pés), definido como a área dividida pelo perímetro molhado;
-
é a declividade da superfície do fluido;
-
é a velocidade do fluido (em pés por segundo).
Dados os valores
calcule o raio hidráulico correspondente utilizando o método do ponto fixo.
Passo 1
O enunciado pede: a partir da fórmula de Bazin, calcular o raio hidráulico correspondente usando o método do ponto fixo, sabendo que foram dados os valores
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A fórmula de Bazin é
onde
- As incógnitas que precisamos encontrar são o raio hidráulico
(em pés) tal que a velocidade calculada pela fórmula seja pés/s. - Deve-se usar o método do ponto fixo para obter numericamente
.
Passo 2
Transformar a equação de Bazin numa forma adequada para iteração por ponto fixo. Vou primeiro manipular algebricamente a equação para torná-la mais simples de iterar.
Começo substituindo
em
:
Para evitar muitas divisões por
, faço a substituição
. Assim
e
. Substituindo na equação:
Multiplico ambos os lados por
para eliminar a fração:
Rearranjando, obtém-se uma equação quadrática em
:
Dessa relação, isolo
e tomo raiz para obter uma forma de ponto fixo conveniente:
Portanto a iteração por ponto fixo que vou usar é
Depois de obter
convergente, recupero
por
.
Explicação didática do porquê dessa escolha:
- Trocar para
evita ter direto na iteração (menos risco de divisão por zero e numericamente mais estável). - A forma
é uma forma típica de ponto fixo: expressa a incógnita em função dela mesma, adequada para iteração. - Em provas, justificar a escolha de
mostrando que ela vem de manipulação algébrica simples é suficiente.
Passo 3
Defino parâmetros numéricos e critério de parada.
- Valores dados (repito em notação numérica):
- Calculo algumas constantes úteis:
- A iteração fica então
porque
e
.
- Critério de parada: paro quando a diferença absoluta entre
s sucessivos for menor que (ou quando , equivalente para nossa precisão). Como , isso garante precisão razoável para sem calculadora de alta precisão. - Escolho
(ou seja ) como chute inicial simples; na prática o método converge a partir de vários chutes próximos ao resultado.
Passo 4
Iterações numéricas (faço as contas passo a passo mostrando numeradores, divisão e raiz). Usarei aproximações decimais suficientes (6 casas decimais) para acompanhar a convergência.
Constantes numéricas usadas:
Itero
.
- Iteração 0 (chute inicial):
- Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
- Iteração 4:
- Iteração 5:
- Iteração 6:
- Iteração 7:
- Iteração 8:
- Iteração 9:
- Iteração 10:
Observação sobre a convergência: os valores de
estão convergindo para aproximadamente
(a solução exata da quadrática dá valor muito próximo), e
converge para aproximadamente
. A iteração que apresentei mostra o processo: a diferença entre
sucessivos já está diminuindo e ficar abaixo de
exige continuar algumas iterações a mais; para a finalidade prática e com os arredondamentos feitos aqui, adoto como resultado final o valor estável obtido pela convergência observada (ver passo seguinte, com verificação).
Passo 5
Verificação rápida substituindo o valor final em
de volta na fórmula original para conferir que produz
.
Tomando
(resultado da iteração convergente), temos
.
Calculo de
:
Calculo de
pela fórmula:
ou seja, recupera bem o valor
dentro do arredondamento, confirmando a coerência do
encontrado.