onde é um constante qualquer. Obtenha a solução geral para a equação de Legendre pelo método da série de potênciais.
Dica: a solução terá uma parte para os termos pares e outra para termos ímpares.
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a equação de Legendre
usando série de potências. É um ODE de Legendre e vamos usar método da série em torno de .
Passo 2
Assumimos uma série de potências para :
Então
Vamos substituir na equação de Legendre.
Passo 3
Substituindo na equação:
Expandindo o primeiro termo:
Passo 4
Reindexamos todas as somas para potências . No primeiro somatório fazemos , ou seja, . Obtemos a condição de coeficientes:
o que simplifica para a recorrência
Passo 5
Como essa relação liga a , há duas famílias independentes de soluções: uma para termos de índice par e outra para termos de índice ímpar. Ou seja, fixamos coeficiente livre para gerar todos e para gerar todos .
Passo 6
A solução geral é combinação linear dessas duas séries:
onde os coeficientes satisfazem
a2m+2=2m(2m+1)-l(l+1)(2m+2)(2m+1),a2m,
a2m+3=(2m+1)(2m+2)-l(l+1)(2m+3)(2m+2),a2m+1
Resposta
A solução geral da equação de Legendre pelo método da série de potência em torno de x=0 é