A equação de Legendre é dada por
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+l(l+1) y=0
onde l é um constante qualquer. Obtenha a solução geral para a equação de Legendre pelo método da série de potênciais.
Dica: a solução terá uma parte para os termos pares e outra para termos ímpares.

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação de Legendre
(1 - x^2) y'' - 2x y' + l(l+1)y = 0
usando série de potências. É um ODE de Legendre e vamos usar método da série em torno de x=0.

Passo 2

Assumimos uma série de potências para y(x):
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Então
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1,
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2
Vamos substituir na equação de Legendre.

Passo 3

Substituindo na equação:
(1-x^2)sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2 -2xsumn=1^infty n an x^n-1 + l(l+1)sumn=0^infty an x^n =0
Expandindo o primeiro termo:
sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2 - sumn=2^infty n(n-1)an x^n -2sumn=1^infty n an x^n + l(l+1)sumn=0^infty an x^n=0

Passo 4

Reindexamos todas as somas para potências x^n. No primeiro somatório fazemos n-2mapsto n, ou seja, n=k+2. Obtemos a condição de coeficientes:
(n+2)(n+1)an+2 - [n(n-1)+2n - l(l+1)]an =0,
o que simplifica para a recorrência
an+2 = n(n+1)-l(l+1)(n+2)(n+1),an

Passo 5

Como essa relação liga an+2 a an, há duas famílias independentes de soluções: uma para termos de índice par e outra para termos de índice ímpar. Ou seja, fixamos coeficiente livre a0 para gerar todos a2m e a1 para gerar todos a2m+1.

Passo 6

A solução geral é combinação linear dessas duas séries:
y(x)=Aunderbracesumm=0^infty a2mx^2msérie par + Bunderbracesumm=0^infty a2m+1x^2m+1série ímpar, ééí
onde os coeficientes satisfazem
a2m+2=2m(2m+1)-l(l+1)(2m+2)(2m+1),a2m,
a2m+3=(2m+1)(2m+2)-l(l+1)(2m+3)(2m+2),a2m+1

Resposta

A solução geral da equação de Legendre pelo método da série de potência em torno de x=0 é
y(x)=Asumm=0^infty a2mx^2m+Bsumm=0^infty a2m+1x^2m+1,
com recorrência
an+2=n(n+1)-l(l+1)(n+2)(n+1),an,
e constantes arbitrárias A=a0 e B=a1.

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