Para todo x real, o valor da expressão 11+tg^2 x+11+cotg^2 x é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa expressão juntos! A questão pede para encontrar o valor de 11+tan^2 x + 11+cot^2 x para todo número real x. Aqui estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente a tangente ( tan) e a cotangente ( cot). Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas que relacionam essas funções entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica fundamental que relaciona a tangente e a cotangente com o seno ( sin) e o cosseno ( cos):
tan x = sin xcos x e cot x = cos xsin x
Além disso, sabemos que tan x e cot x são funções recíprocas, ou seja, cot x = 1tan x.

Passo 3

Vamos analisar a expressão 11+tan^2 x. Sabemos de uma identidade trigonométrica que relaciona tan^2 x com 1:
1 + tan^2 x = sec^2 x
Onde sec x é a secante de x, mas para simplificar, vamos usar a identidade pitagórica:
1 + tan^2 x = 1cos^2 x
Portanto,
11+tan^2 x = cos^2 x

Passo 4

De maneira similar, vamos simplificar 11+cot^2 x. Usando a identidade pitagórica para cot x:
1 + cot^2 x = csc^2 x
Onde csc x é a cosecante de x. Novamente, para simplificar:
1 + cot^2 x = 1sin^2 x
Assim,
11+cot^2 x = sin^2 x

Passo 5

Agora que simplificamos ambas as frações, vamos somá-las:
cos^2 x + sin^2 x
Lembrando da identidade pitagórica fundamental:
cos^2 x + sin^2 x = 1

Resposta

O valor da expressão 11+tan^2 x + 11+cot^2 x é igual a 1.

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