A equação do movimento de Kepler, para órbitas elípticas, é descrita por:
M=E-e \operatorname{sen}(E)
onde e=0,0167 e M=1. Calcular uma aproximação para E, com erro inferior a 10^{-5} usando os seguinte métodos:
(b) Bissecção;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Kepler
M = E - e\sin(E)
com e = 0,0167 e M = 1, encontrando uma aproximação de E cujo erro seja inferior a 10^{-5}, usando o método da bissecção. Vamos precisar definir a função
f(E) = E - e\sin(E) - M
e aplicar a bissecção até que a largura do intervalo seja pequena o suficiente.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um intervalo [a,b] em que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Note que
f(0) = 0 - 0,0167\sin(0) - 1 = -1 < 0
f(\pi) = \pi - 0,0167\sin(\pi) - 1 = \pi - 1 \approx 2{,}1416 > 0
Logo, existe uma raiz em [0,\pi].

Passo 3

No método da bissecção, definimos repetidamente
c = \frac{a+b}{2},
calculamos f\text{(c)} e substituímos [a,b] por [a,c] ou [c,b] conforme o sinal de f\text{(c)}. Mantemos esse processo até que
\frac{b - a}{2} < 10^{-5}.
Começando com [a_0,b_0]=[0,\pi], após 18 iterações chega-se ao intervalo
[a_{18},b_{18}] = [1{,}01417693,\;1{,}01418890],
cuja metade da largura é
\frac{b_{18}-a_{18}}{2} \approx 5{,}98\times10^{-6} < 10^{-5}.

Passo 4

Como o critério de parada foi satisfeito, tomamos a aproximação de E como o ponto médio final:
E \approx \frac{a_{18}+b_{18}}{2} = 1{,}0141829\ldots

Resposta

E \approx 1{,}01418 (rad), com erro inferior a 10^{-5}.

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