A equação do movimento de Kepler, para órbitas elípticas, é descrita por:
M=E-e \operatorname{sen}(E)
onde e=0,0167 e M=1. Calcular uma aproximação para E, com erro inferior a 10^{-5} usando os seguinte métodos:
(a) Newton;

Passo 1

O enunciado dá a equação de Kepler para órbitas elípticas
M = E - e \operatorname{sen}(E)
com e=0,0167 e M=1, e pede uma solução para E com erro menor que 10^{-5}. Vamos usar o método de Newton para encontrar a raiz da função
f(E) = E - e \operatorname{sen}(E) - M.

Passo 2

Derivando f, temos
f'(E) = 1 - e \cos(E).
O método de Newton dá a iteração
E_{n+1} = E_n - \frac{f(E_n)}{f'(E_n)}.

Passo 3

Escolhemos como palpite inicial
E_0 = M = 1.

Passo 4

Calcular E_1:
f(E_0)=E_0 - e\operatorname{sen}(E_0)-M = 1 - 0,0167\operatorname{sen}(1) - 1 = -0,0167\operatorname{sen}(1)\approx -0,014047.
f'(E_0)=1 - 0,0167\cos(1)\approx 0,990977.
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E_1 = 1 - \frac{-0,014047}{0,990977}\approx 1,014179.

Passo 5

Calcular E_2:
\operatorname{sen}(E_1)\approx 0,84905, \cos(E_1)\approx 0,52831.
f(E_1)=E_1 - 0,0167\operatorname{sen}(E_1)-1\approx -6{,}0\times10^{-6}.
f'(E_1)=1 - 0,0167\cos(E_1)\approx 0,991176.
E_2 = 1,014179 - \frac{-6{,}0\times10^{-6}}{0,991176}\approx 1,014186.
Como \lvert E_2 - E_1\rvert\approx6{,}3\times10^{-6}<10^{-5}, atingimos o critério de erro.

Resposta

\displaystyle E\approx1{,}01419 radianos.

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