A equação de uma onda transversal se propagando ao longo de uma corda muito longa é y=0,06 \operatorname{sen}(0,020 \pi x+4,0 \pi t), com unidades no S.I.
Determine: a velocidade de propagação;

Passo 1

O enunciado dá a equação de uma onda transversal numa corda muito longa:
y = 0,06\\ \sin\!\bigl(0,020\pi\,x + 4,0\pi\,t\bigr),
com unidades no S.I.
A pergunta é: determinar a velocidade de propagação da onda.
Informações extraídas do enunciado (apenas listando o que temos):
\text{amplitude } A = 0,06
\text{coeficiente de } x \text{ no argumento: } 0,020\pi
\text{coeficiente de } t \text{ no argumento: } 4,0\pi

Passo 2

Vamos entender o que significam esses coeficientes (mini-aula rápida, bem passo a passo).
Uma forma geral muito usada para ondas harmônicas unidimensionais é
y(x,t)=A\sin\!\bigl(kx\pm\omega t+\varphi\bigr),
onde:
k\quad\text{é o número de onda (ou número angular de onda), em }\mathrm{rad/m},éúú
\omega\quad\text{é a frequência angular, em }\mathrm{rad/s},éê
\varphi\quad\text{é a fase inicial (em radianos)}.é
Significados práticos:
k=\frac{2\pi}{\lambda}\quad\text{(onde \(\lambda\) é o comprimento de onda, em m)},é
\omega=2\pi f\quad\text{(onde \(f\) é a frequência em Hz)}.éê
A velocidade de propagação (velocidade de fase) da onda é dada por
v=\frac{\omega}{k}.
Observação sobre o sinal: o sinal \pm determina o sentido de propagação. Em \sin(kx-\omega t) a onda desloca-se no sentido positivo de x; em \sin(kx+\omega t) a onda desloca-se no sentido negativo de x. Vou mostrar isso explicitamente mais adiante.

Passo 3

Identificamos k e \omega diretamente da equação dada, comparando com a forma padrão:
k = 0,020\pi
\omega = 4,0\pi
Ambas as quantidades estão com as unidades esperadas: k em \mathrm{rad/m} e \omega em \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da velocidade:
v=\frac{\omega}{k}=\frac{4,0\pi}{0,020\pi}.
Note que o \pi cancela:
v=\frac{4,0}{0,020}.
Fazendo a divisão passo a passo: 0,020=2\times10^{-2}, então
\frac{4,0}{0,020}=4,0\times\frac{1}{0,020}=4,0\times 50=200.
Portanto a magnitude da velocidade é
v=200\\ \text{m/s}.

Passo 5

Verificação alternativa (útil pra conferir sem confiar só numa conta): calcule \lambda e f e use v=f\lambda.
Primeiro a \lambda:
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{0,020\pi}=\frac{2}{0,020}=100\\ \text{m}.
Depois a frequência f:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{4,0\pi}{2\pi}=2,0\\ \text{Hz}.
Agora
v=f\lambda=2,0\times 100=200\\ \text{m/s},
o mesmo resultado — ótimo, bateu.

Passo 6

Sentido de propagação (explicando por que eu disse antes sobre o sinal): o argumento é kx+\omega t, ou seja há um sinal positivo entre kx e \omega t. Considere a fase constante de uma crista:
kx+\omega t=\text{constante}.
Isolando x:
x=\frac{\text{constante}-\omega t}{k}=\text{constante'}-\frac{\omega}{k}\,t.
Derivando em relação a t obtemos a velocidade do ponto de fase (crista):
\frac{dx}{dt}=-\frac{\omega}{k}=-200\\ \text{m/s}.
Ou seja, a onda se propaga no sentido negativo do eixo x (para a esquerda) com velocidade escalar 200\\ \text{m/s}.

Resposta

200\\ \text{m/s} (sentido negativo do eixo x; velocidade vetorial -200\\ \text{m/s})

Exercícios relacionados